1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner

Teori

Övningar

Repetitionsuppgifter till 1.1 - 1.4

Internetlänkar

Lektion 8 Kontinuerliga & diskreta funktioner

Exempel 1 Diskret prisfunktion för ägg efter antal

En torghandlare säljer ägg för 3 kr per styck.

a) Ställ upp en funktion som beskriver priset \( y \, \) kr för \( x \, \) st ägg.

b) Rita grafen till funktionen i a).

Lösning:

a) \( {\color{White} x} {\color{Red} 1} \, \) ägg kostar \( {\color{Red} 1} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{Red} 2} \, \] ägg kostar \( {\color{Red} 2} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{Red} 3} \, \] ägg kostar \( {\color{Red} 3} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{White} x} \qquad \cdots \]

\[ {\color{Red} x} \, \] ägg kostar \( {\color{Red} x} \cdot 3 \;{\rm kr} \) eller \( 3\;{\color{Red} x} \;{\rm kr.} \)

Därför är prisfunktionen:

\[ y = 3\;{\color{Red} x} \]

b) Grafen till Funktionen \( y = 3\;{\color{Red} x} \) ser ut så här:

Funktionen \( y = 3\;{\color{Red} x} \) med \( {\color{Red} x} \, \) = antal ägg är ett exempel på en diskret funktion.

I matematiken betyder diskret distinkt dvs avgränsat, separerat och är motsatsen till kontinuerlig. För att rita en diskret funktions graf måste man lyfta pennan minst en gång. Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade till sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan 2 och 3 osv. "Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Samma gäller förstås för "antal ägg". Det finns inga halva eller bråkdel ägg.

Funktionen \( y = 3\;{\color{Red} x} \) är diskret därför att dess definitionsmängd: alla \( {\color{Red} x} \geq 0\, \) med \( {\color{Red} x} \, \) = antal ägg är en diskret mängd. Därför är dess graf ritad med separerade prickar och inte med en genomdragen linje.

Exempel 2 Kontinuerlig prisfunktion för ägg efter vikt

En annan torghandlare säljer ägg för 30 kr per kilo.

a) Ställ upp en funktion som beskriver priset \( y \, \) kr för \( x \, \) kilo.

b) Rita grafen till funktionen i a).

Lösning:

a) \( {\color{White} x} {\color{Red} 1} \, \) kg ägg kostar \( {\color{Red} 1} \cdot 30 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{Red} 2} \, \] kg ägg kostar \( {\color{Red} 2} \cdot 30 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{Red} 3} \, \] kg ägg kostar \( {\color{Red} 3} \cdot 30 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{White} x} \qquad \cdots \]

\[ {\color{Red} x} \, \] kg ägg kostar \( {\color{Red} x} \cdot 30 \;{\rm kr} \) eller \( 30\;{\color{Red} x} \;{\rm kr.} \)

Därför är prisfunktionen:

\[ y = 30\;{\color{Red} x} \]

b) Grafen till Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) ser ut så här:

Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) med \( {\color{Red} x} \, \) = kg ägg är ett exempel på en kontinuerlig funktion.

I matematiken betyder kontinuerlig sammanhängande och är motsatsen till diskret. En kontinuerlig funktions graf kan man rita utan att lyfta pennan. De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal finns alltid oändligt många tal.

Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) är kontinuerlig därför att dess definitionsmängd: alla \( {\color{Red} x} \geq 0\, \) med \( {\color{Red} x} \, \) = kg ägg är en kontinuerlig mängd. Därför är dess graf ritad med genomdragen linje.