1.5 Lösning 6a

Vi inför obekanten \( x\, \) som förändringsfaktorn för ett år.

Efter 1 år finns det på kontot\[ 5\,000 \cdot x \]

Efter 2 år finns det på kontot\[ (5\,000 \cdot x) \cdot x = 5\,000 \cdot x^2 \]

\( \cdots \)

Efter 10 år finns det på kontot\[ 5\,000 \cdot x \cdot x \cdot\,\cdots\,\cdot x = 5\,000 \cdot x^{10} \]

Kravet på fördubbling av startkapitalet ger följande potensekvation som löses med rotdragning\[\begin{align} 5\,000 \cdot x^{10} & = 10\,000 \\ x^{10} & = 2 \qquad & | \; \sqrt[10]{\;\;} \\ \sqrt[10]{x^{10}} & = \sqrt[10]{2} \\ x & = \sqrt[10]{2} \\ \end{align}\]

För att kunna beräkna \( \sqrt[10]{2} \) går vi över från rotnotation till potens med bråktal som exponent:

\[\begin{align} x & = \sqrt[10]{2} \quad & | \; \sqrt[10]{\;\;} \; \text{samma som} \; (\;\;\;)^{1 \over 10} \\ x & = 2^{1 \over 10} \\ \end{align}\]

I räknaren beräknas \( 2^{1 \over 10} \) genom att mata in: 2 ^ (1/10) . Vi får:

\[ x = 1,0718\, \]

En förändringsfaktor på \( 1,0718\, \) innebär en ökning med \( 7,18 %\, \).

Eftersom \( x\, \) var förändringsfaktorn för ett år, är \( 7,18 %\, \) bankens årsränta.