1.3 Lösning 11b

Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) \]

I 11 a) hade vi bestämt \( Q(x)\, \) till\[ Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 \]

För att fullständigt faktorisera 3:e gradspolynomet måste även \( Q(x)\, \) faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen\[ x^2 - 13\,x + 2 = 0 \]

Vietas formler ger \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}\]

Det är inte så enkelt att få lösningarna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) ur dessa relationer. Därför använder vi p-q formeln här\[\begin{align} x^2 - 13 x + 2 & = 0 \\ x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{42,25 - 2} \\ x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{40,25} \\ x_{1,2} & = 6,5 \pm 6,34 \\ x_1 & = 12,84 \\ x_2 & = 0,16 \\ \end{align}\]

I efterhand kan vi verifiera Vietas formler, se teoridelen: Vietas formler ..., En nackdel.

Således kan \( Q(x)\, \) faktoriseras så här\[ Q(x)= x^2 - 13\,x + 2 = (x - 12,84) \cdot (x - 0,16) \]

Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 3:e gradspolynomet i början\[ x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) \]

får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet\[ x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot (x-12,84)\,\cdot\,(x-0,16) \]