1.1 Lösning 6

\[\begin{align} x^4 - 29\;x^2 & = -100 \\ x^4 - 29\;x^2 + 100 & = 0 \\ \end{align}\]

Vi inför en ny variabel z som vi definierar som:

\[ \displaystyle z = x^2 \]

Om vi i 4:e gradsekvationen ovan ersätter \( x^2 \) med \( z \) får vi en 2:a gradsekvation som vi löser med pq-formeln:

\[\begin{align} z^2 - 29\,z + 100 & = 0 \\ z_{1,2} & = 14,5 \pm \sqrt{14,5^2 - 100} \\ z_{1,2} & = 14,5 \pm \sqrt{210,25 - 100} \\ z_{1,2} & = 14,5 \pm \sqrt{110,25} \\ z_{1,2} & = 14,5 \pm 10,5 \\ z_1 & = 25 \\ z_2 & = 4 \\ \end{align}\]

Först sätter vi in lösningen \( z_1 = 25 \) i substitutionen \( z = x^2 \):

\[ \displaystyle z = x^2 = 25 \]

Roten ur båda leden av \( x^2 = 25 \) ger lösningarna:

\[ x_{1,2} = \pm 5 \]

Sedan görs samma sak med lösningen \( z_2 = 4 \). Insatt i substitutionen \( z = x^2 \) ger den:

\[ \displaystyle z = x^2 = 4 \]

Roten ur båda leden av \( x^2 = 4 \) ger lösningarna:

\[ x_{3,4} = \pm 2 \]

Slutligen kan vi konstatera att vår 4:e gradsekvation

\[ x^4 - 29\;x^2 = -100 \]

har de tvåfyra lösningarna:

\[\begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = - 3 \\ \end{align}\]

En prövning bekräftar detta resultat.

Så här ser grafen till funktionen \( y = x^4 - 6\,x^2 - 27 \) ut vars nollställen överensstämmer med våra lösningar: