1.3 Lösning 8c
För att faktorisera polynomet \( 49\,z^2 + 14\,z + 1 \) beräknar vi dess nollställen\[ 49\,z^2 + 14\,z + 1 = 0 \]
För att kunna använda Vietas formler måste ekvationen skrivas om till normalform\[\begin{align} 49\,z^2 + 14\,z + 1 & = 0 \qquad & | \; / \, 49 \\ z^2+{14\over 49}\,z+{1\over 49} & = 0 \\ z^2+{2\over 7}\,z+{1\over 49} & = 0 \\ \end{align}\]
Normalformen ger Vietas formler\[ \begin{align} z_1 + z_2 & = - {2\over 7} \\ z_1 \cdot z_2 & = {1\over 49} \end{align}\]
Man hittar lösningarna \( z_1 = - {1\over 7}\,\) och \( z_2 = - {1\over 7}\,\) eftersom
\( \begin{align} - {1\over 7} - {1\over 7} & = {2\over 7} \\ (-{1\over 7})\cdot(-{1\over 7}) & = {1\over 49} \end{align}\) +++ Därför har normalformen \( x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} \) faktoriseringen \( \left(x-{1\over 3}\right) \cdot \left(x-{1\over 3}\right) \) och därmed det ursprungliga polynomet \( 9\,x^2 - 6\,x + 1 \) följande faktorisering\[ 9 \cdot \left(x-{1\over 3}\right) \cdot \left(x-{1\over 3}\right) = 3\cdot \left(x-{1\over 3}\right) \cdot 3 \cdot \left(x-{1\over 3}\right) = \]
- \[ = (3\,x-1)\cdot (3\,x-1) = (3\,x-1)^2 \]
Kontroll\[ (3\,x-1)^2 = 9\,x^2 - 6\,x + 1 \] enligt kvadreringsregeln.
