Ekvationer

Teori

Övningar

Vilken typ av ekvation?

Ekvationer har vi lärt oss ända från grundskolan till gymnasiet. I Matte A-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av typ\[ 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 \]

Sådana ekvationer kallas linjära eller 1:a gradsekvationer eftersom obekanten \( x \) förekommer endast som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. \( x \) är ju samma som \( x^1 \). Högre x-potenser förekommer inte. I Matte B-kursen har vi gått ett steg vidare och löst bl.a. ekvationer av typ\[ x^2 + 6\,x - 16 = 0 \]

Sådana ekvationer kallas icke-linjära, närmare bestämt kvadratiska eller 2:a gradsekvationer därför att obekanten \( x \) förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2 eller som \( x^2 \). Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen.

Den generella lösningen av 3:e- och högre gradsekvationer är så pass svår att den inte behandlas i skolan. Det är t.o.m. omöjligt att med algebraiska operationer dvs \( + \), \( - \), \( \cdot \), \( / \) och\(\sqrt{ }\;\) lösa ekvationer av 5:e och högre grad i generell form, vilket bevisades av den norske matematikern Niels Henrik Abel så sent som 1824. För sådana ekvationer använder man i praktiken numeriska metoder som man ofta programmerar och låter datorn göra jobbet. Vissa specialfall däremot går att lösa algebraiskt. Vi kommer att ta upp en speciell typ av 4:e gradsekvation som går att återföra till en 2:a gradsekvation. Men först ska vi komplettera våra kunskaper om ekvationslösning med bl.a. ekvationer av en helt ny typ\[ \sqrt{6 x + 10} + 1 = x \]

Sådana ekvationer kallas rotekvationer. De är varken linjära eller kvadratiska. Vi kommer att lösa rotekvationer genom att återföra dem till 2:a gradsekvationer, precis som man återför 2:a gradsekvationer till 1:a gradsekvationer. Man bryter ned den nya, okända typen med stor svårighetsgrad till en lägre, redan känd typ med mindre svårighetsgrad.

Rotekvationer

Förekommer obekanten \(x\) under rotsymbolen\(\sqrt{ }\;\) pratar man om en rotekvation. Sådana ekvationer löser man genom att isolera roten på en sida av ekvationen och kvadrera sedan båda leden för att bli av med roten. OBS! Utan isolering kan man inte bli av med roten. Dvs roten måste stå ensam på en sida av ekvationen för att kvadreringen ska kunna eliminera den. Här uppstår nu ett problem som är typisk för rotekvationer: Kvadreringen kan genera s.k. falska rötter och tillföra dem till ekvationen. Begreppet rot har två betydelser: en gång betyder det rotsymbolen\(\sqrt{ }\;\) en annan gång är det synonym för lösning. När man pratar om falska rötter menar man falska lösningar. Vilka av de erhållna lösningarna är falska, kan man bara få reda på om man verifierar dem i den ursprungliga rotekvationen: Man sätter in dem i den ursprungliga rotekvationen och prövar vilka som är rätta och vilka som är falska. De falska rötterna är inte lösningar till rotekvationen utan till den kvadredade ekvationen och måste därför förkastas.

Fenomenet med falska rötter beror på att kvadreringen som genererar falska rötterna, är en operation vars inversa (omvända) operation (rotdragning) inte är entydig: 2 kvarderat ger 4, men även -2 kvarderat ger 4. I exemplet nedan ger \( (x-1) \) kvarderat \( (x-1)^2 \), men även \( -(x-1) \) kvarderat ger \( (x-1)^2 \). Men \( -(x-1) \) härstammer inte från den rotekvation som vi vill lösa, utan från en helt annan ekvation.

I detta sammanhang är det viktigt att komma ihåg att rotfunktionen alltid är definierad som positiv, för att undvika tvetydighet. T.ex. \( \qquad \sqrt{4}\;= 2\;, \quad {\rm inte}\;-2 \)

Funktionsbegreppet - och rotdragning är en funktion - tillåter inte två olika funktionsvärden till ett argument: "En funktion y = f(x) är en regel som tilldelar varje x-värde ENDAST ett y-värde." (se Matte B-kursen). Om du inte ser kopplingen till falska rötter bli inte desperat! Den är inte så lätt att förstå. Däremot visar nedanstående exempel hur du rent praktiskt kan identifiera falska rötter och eliminera dem från din lösning.

Exempel

Här följer ett exempel på hur man löser rotekvationen ovan genom att skriva om den till en 2:a gradsekvation:

\[\begin{align} \sqrt{6 x + 10} + 1 & = x & | \;\; -1 \\ \sqrt{6 x + 10} & = x - 1 & | \; (\;\;\;)^2 \\ 6 x + 10 & = (x - 1)^2 \\ 6 x + 10 & = x^2 - 2 x + 1 \qquad\qquad & | - 10 \\ 6 x & = x^2 - 2 x - 9 \qquad\qquad & | - 6 x \\ 0 & = x^2 - 8 x - 9 \\ \end{align}\]

Normalformen till en 2:a gradsekvation \(x^2+px+q=0\) har lösningen: \[x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\] Enligt denna lösningsformel, även kallad pq-formeln, löses 2:a gradsekvationen ovan så här:

\[\begin{align} x^2 - 8 x - 9 & = 0 \\ x_{1,2} & = 4 \pm \sqrt{16 + 9} \\ x_{1,2} & = 4 \pm 5 \\ x_1 & = 9 \\ x_2 & = - 1 \\ \end{align}\]

Den falska roten

Vilken av lösningarna ovan är den falska roten? Eller är kanske båda falska eller ingen av dem? Teoretiskt kan alla, några eller ingen av rotekvationens rötter (lösningar) vara falska. Enda kriteriet är om de uppfyller den ursprungliga rotekvationen eller ej. Därför prövar vi båda, först \( x_1 = 9 \):

Vänsterled (VL)\[ \sqrt{6 \cdot 9 + 10} + 1 = \sqrt{54 + 10} + 1 = \sqrt{64} + 1 = 8 + 1 = 9 \]

Högerled (HL)\[ \displaystyle 9 \]

VL = HL \( \Rightarrow\quad x_1 = 9 \) är en sann rot.

Sedan prövar vi roten \( x_2 = -1 \):

Vänsterled (VL)\[ \sqrt{6 \cdot (-1) + 10} + 1 = \sqrt{-6 + 10} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3 \]

Högerled (HL)\[ \displaystyle -1 \]

VL \( \not= \) HL \( \Rightarrow\quad x_2 = -1 \) är en falsk rot.

Slutligen kan vi konstatera att vår rotekvation

\[ \sqrt{6 x + 10} \; + \; 1 \; = \; x \]

har den enda lösningen:

\[ \displaystyle x = 9 \]

4:e gradsekvationer med jämna x-potenser

Inledningsvis sa vi att vissa specialfall av högre gradsekvationer går att lösa algebraiskt. Vi ska nu ta upp en speciell typ av 4:e gradsekvation som går att återföra till en 2:a gradsekvation. Denna speciella typ utmärker sig genom att obekanten \( x \) endast förekommer i potenser med jämna exponenter dvs med exponenterna 4, 2 och 0. Dvs ekvationen saknar helt och hållet termer med udda x-potenser. Följande är ett exempel på en sådan 4:e gradsekvation med jämna x-potenser:

\[ x^4 - 6\,x^2 - 27 = 0 \]

En 4:e gradsekvation med jämna x-potenser kan alltid skrivas om till en 2:a gradsekvation genom en enkel s.k. substitution. Från Matte B-kursens linjära ekvationssystem vet vi att substitution betyder ersättning av en variabel med ett uttryck av en annan variabel. Vi inför en ny variabel z som vi definierar som:

\[ \displaystyle z = x^2 \]

Denna substitution överför vår 4:e gradsekvation ovan till följande 2:a gradsekvation:

\[ z^2 - 6\,z - 27 = 0 \]

Självklart är det en ny ekvation med den nya obekanten z. Men den är relaterad till vår ursprungliga ekvation med obekanten x via substitutionen \( z = x^2 \). Vi kommer att lösa 2:a gradsekvationen för z och sätta in dess lösningar i substitutionen för att få lösningar för x. Så här går det till:

\[\begin{align} z^2 - 6\,z - 27 & = 0 \\ x_{1,2} & = 4 \pm \sqrt{16 + 9} \\ x_{1,2} & = 4 \pm 5 \\ x_1 & = 9 \\ x_2 & = - 1 \\ \end{align}\]