3.3 Ekvationer
| Genomgång | Quiz | Övningar | Genomgång+ | Nästa avsnitt >> |
Vad är en ekvation?
\( \qquad \)
En ekvation är en likhet mellan två uttryck,
har alltid formen VL = HL och innehåller
endast EN variabel, kallad obekant.
Ex.: \( \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 \)
Ekvationens lösning: \( \quad\; \)
- Kontroll:
Sätt in lösningen i ekvationen.
VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \)
HL \( \, = \, 18 \)
VL \( = \) HL \( \, \Rightarrow \, x = {\color{Red} 2} \) är en korrekt lösning.
Kontroll kallas ibland även för prövning.
Det finns två lösningsmetoder:
1. Övertäckningsmetoden
Exemplet ovan:
\( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)
\( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)
\( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)
\( \;\, \Downarrow \)
\( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)
\( \, 2 \, \cdot \; \)\( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)
\( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)
\( \quad\;\;\; \Downarrow \)
2. Allmän metod
Exempel:
- \[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]
Skrivsättet \( \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, \) är en kommentar och betyder:
- Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.
Kommentaren \( \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; \) betyder:
- Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).
Den allmänna metoden steg för steg
Steg 1
Förenkla uttrycken i ekvationens båda led
så långt som möjligt. I exemplet ovan:
- \[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & \end{array}\]
Steg 2
Utför samma operation på båda leden:
- \[\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, & = & 4 \end{array}\]
Vilken operation?
Den inversa operation som isolerar \( x\)-termen.
\( \;\;\; {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa operationen till \( \, + \, 14 \)
Steg 3
Utför samma operation på båda leden:
- \[\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & & \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x & = & 2 & & \end{array}\]
Vilken operation?
Den inversa operation som isolerar \( \, x \, \).
\( \quad\;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \)
Den allmänna metodens filosofi:
Betrakta ekvationen som en våg i balans.
Likhetstecknet \( \; = \; \) Vågens balans
HL och VL\( \; = \; \) Vågens skålar
Bibehåll balansen genom att göra samma
sak på båda vågskålarna, dvs:
\( \;\;\; \) Samma operation på båda leden !
När saknar en ekvation lösning?
Exempel:
\(\begin{array}{rcl} 2\,x \, - \, 2\, (3 \, + \, x ) & = & 8 \\ 2\,x \, - \, 6 \, - \, 2\,x & = & 8 \\ - \, 6 & = & 8 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)
\( \qquad\quad \) Ekvationen saknar lösning.
När är alla tal lösningar till en ekvation?
Exempel:
\(\begin{array}{rcl} \;\; x \, - \, (4 \, + \, x ) & = & -4 \\ x \, - \, 4 \, - \, x & = & -4 \\ - \, 4 & = & -4 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)
\( \;\; \) Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller:
\( \;\; \) Ekvationen har oändligt många lösningar.
Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.
