1.6 Fördjupning till Absolutbelopp

Innehåll

1 Falska rötter
2 Olikheter med absolutbelopp
3 Intervall med absolutbelopp
4 Intervall och cirkel
5 Internetlänkar

<< Förra demoavsnitt

Genomgång

Övningar

Fördjupning

Nästa demoavsnitt >>

Lektion 11 Absolutbelopp

Falska rötter

Ekvationer med absolutbelopp kan ha falska rötter (som rotekvationer). Här följer ett exempel:

Lös ekvationen \( \; \, | \, x - 3 \, | - 2\,x\, = \, 1 \)

Eftersom vi inte känner till \( \, x \, \) måste vi skilja mellan två fall, när vi tillämpar absolutbeloppets definition:

Fall 1 \( \; x - 3 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x \geq 3 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x - 3 \, | = x - 3\, \) och ekvationen blir:

\[\begin{align} x - 3 - 2\,x & = 1 \\ -\,x - 3 & = 1 \\ - 3 - 1 & = x \\ - 4 & = x \\ x_1 & = - 4 \end{align}\]

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i Fall 1, nämligen \( \, x \geq 3 \).

Faktiskt är \( - 4 \not\ge 3 \). Därmed måste vi förkasta denna lösning: \( \quad x_1 = - 4\, \) är en falsk rot.

Fall 2 \( \quad x - 3 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x < 3 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x - 3 \, | = -(x - 3) = -x + 3\, \) och ekvationen blir:

\[\begin{align} -\,x + 3 - 2\,x & = 1 \\ -\,3\,x + 3 & = 1 \\ 3 - 1 & = 3\,x \\ 2 & = 3\,x \\ {2 \over 3} & = x \end{align}\]

Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättningen vi gjorde i Fall 2, nämligen \( \, x < 3\, \).

Det stämmer att \( {2 \over 3} \) \( < 3 \). Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har endast denna lösning.

Svar:

\( \displaystyle x = {2 \over 3} \)

Ekvationens och lösningens grafiska tolkning:

Vi skriver om ekvationen till \( \; | \, x - 3 \, | \, = \, 2\,x \, + \, 1 \; \) och ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktionerna:

\( \qquad\qquad \begin{align} y_1 & = | \, x - 3 \, | \\ \\ y_2 & = 2\,x + 1 \end{align}\)

\( \qquad\qquad \)

Graferna visar att det finns endast en lösning och deras skärningspunkt \( \displaystyle \, x \approx 0,67 \, = \, {2 \over 3} \, \) bekräftar den lösning vi fått för ekvationen \( \; \, | \, x - 3 \, | - 2\,x \, = \, 1 \; \).

Olikheter med absolutbelopp

Lös olikheten \( \; \, | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \, \) och tolka den grafiskt.

Vad blir olikhetens lösningsmängd?

Fall 1 \( \quad x + 2 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x \geq -2 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 2 \, | = x + 2\, \) och olikheten blir:

\[\begin{align} x + 2 & < 4 \\ x & < 4 -2 \\ x & < 2 \\ \end{align}\]

Kombinerad med Fall 1:s förutsättning \( \; x \geq -2 \; \) ger detta:

Svar för fall 1: \( \quad \;\; -2 \leq x < 2\, \)

Fall 2 \( \quad x + 2 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x < -2 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 2 \, | = -(x + 2) = -x - 2\, \) och olikheten blir:

\[\begin{align} -\,x - 2 & < 4 \\ -\,4 - 2 & < x \\ -\,6 & < x \\ x & > -\,6 \\ \end{align}\]

Kombinerad med Fall 2:s förutsättning \( \; x < -2 \; \) ger detta:

Svar för fall 2: \( \quad \;\; -6 < x < -2\, \)

Om vi nu sammanfogar Svar för fall 1 med Svar för fall 2 får vi:

Svar:

\( -6 < x < 2 \)

Grafisk tolkning: Vi ritar graferna till olikhetens två funktioner (på varje led) i samma koordinatsystem:

\( \qquad\qquad \begin{align} y & = | \, x + 2 \, | \\ \\ y & = 4 \end{align}\)

\( \qquad\qquad \)

Olikhetens lösning är markerad med rött. Den består av alla \( \, x \, \) för vilka grafen till \( y = | \, x + 2 \, | \)

befinner sig under grafen till \( y = 4\, \) dvs alla \( x \, \) för vilka \( | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \).

Lösningsmängd:

Olikheten \( | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \) har lösningsmängden \( \, -6 < x < 2 \, \) som är ett intervall.

I denna uppgift har vi visat:

\[ | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \quad \Longrightarrow \quad -6 < x < 2 \]

I nästa uppgift visas att även det omvända gäller:

\[ | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \quad \Longleftarrow \quad -6 < x < 2 \]

Dvs vi har ekvivalens mellan olikheten och intervallet:

\[ | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \quad \Longleftrightarrow \quad -6 < x < 2 \]

Intervall med absolutbelopp

Vi vänder på förra uppgiftens frågeställning:

Vi antar att vi har intervallet \( \; -6 < x < 2 \; \) och söker olikheten som beskriver detta intervall.

Skriv om intervallet \( \; -6 < x < 2 \; \) till en olikhet med hjälp av absolutbelopp.

Sådana uppgifter löses i två steg:

Hitta intervallets mittpunkt \( \, = \, \) intervallgränsernas medelvärde som vi kallar för \( {\rm M } \).

Hitta intervallets halva längd som vi kallar för intervallets radie och betecknar med \( {\rm r } \).

Då kan intervallet skrivas om till olikeheten: \( | \, x \,- {\rm M } \, | < \, {\rm r } \) .

Låt oss börja med att hitta mittpunkten till intervallet \( \,-6 < x < 2 \, \) som är medelvärdet av \( \,-6 \, \) och \( \, 2 \, \):

\[ {\rm M } = {-6 + 2 \over 2} = {-4 \over 2} = -2 \]

Sedan beräknar vi intervallets halva längd genom dra av intervallgränserna från varandra (oavsett ordning),

dela med 2 och sätta det hela inom absolutbelopp eftersom längd alltid är positiv:

\[ {\rm r } = \left| {-6 - 2 \over 2} \, \right| = \left| {-8 \over 2} \, \right| = | -4 \, | = 4 \]

Därmed kan intervallet skrivas om till olikeheten:

\[ \; | \, x \,- {\rm M } \, | < \, {\rm r } \; = \; | \, x - (-2) \, | < 4 \; \; {\rm dvs} \; \; | \, x + 2 \, | < 4 \]

Svar:

Intervallet \( -6 < x < 2 \, \) kan skrivas om till olikheten \( | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \) .

Med de beteckningar som infördes i sista uppgiftens lösning kan vi nu generellt formulera ekvivalensen mellan olikhet och intervall:

\( | \, x - {\rm M } \, | \, < \, {\rm r } \qquad \Longleftrightarrow \qquad {\rm M } - {\rm r } \; < \; x \; < \; {\rm M } + {\rm r } \)

där \( {\rm M } \) är intervallets mittpunkt och \( {\rm r } \) intervallets halva längd eller "radie".

För att beskriva en (sammanhängande) talmängd på talaxeln kan man antingen använda en olikhet med absolutbelopp eller ett intervall.

Intervall och cirkel

Lämnar man den endimensionella talaxeln och går över till det tvådimensionella punktplanet blir intervallet en cirkel.

Cirkelns inre punkter \( \, x \, \) kan beskrivas med samma olikhet som intervallet:

\( | \, x - {\rm M } \, | \, < \, {\rm r } \)

där \( \, {\rm M } \, \) är cirkelns mittpunkt, \( \, {\rm r } \, \) cirkelns radie och \( \, x \, \) alla punkter som har mindre avstånd från mittpunkten än radien.

Härifrån är det enkelt att ställa upp cirkelns ekvation:

\[ | \, x - {\rm M } \, | \, = \, {\rm r } \]

där \( \, x \, \) är alla punkter som har samma avstånd \( \, {\rm r } \, \) från medelpunkten \( \, {\rm M } \).

På så sätt bibehåller absolutbeloppet sin tolkning som avstånd och kan samtidigt generaliseras till avstånd mellan två punkter.

Mera precis borde man tolka punkterna \( \, x \, \) och \( \, {\rm M } \, \) som vektorer från koordinatsystemets origo till resp. punkt och absolutbeloppet som differensvektorn \( \,( \vec{x} - {\rm \vec{M}})\):s längd \( | \, \vec{x} - {\rm \vec{M}} \, | \). Om vektorer repetera Matte 1, där vi hade betecknat en vektor \( \, \vec{x}\,\):s längd med \( \, | \, \vec{x} \, | \).

På liknande sätt kan man gå över till det tredimensionella rummet och betrakta klotet istället för cirkeln. Analogin fortsätter och den matematiska notationen är den samma, även i högre dimensioner än tre. Då ersätts absolutbeloppet av något som kallas för normen och betecknas med \( \; || \, \quad \, || \; \). Även normen kan fortfarande tolkas som en slags abstrakt "längd" eller "avstånd", beroende på sammanhanget.