1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner

Genomgång

Lektion 8 Kontinuerliga & diskreta funktioner

Exempel 1 Diskret funktion

En torghandlare säljer ägg för \( \, 3 \) kr per styck.

Ställ upp och rita grafen till prisfunktionen som beskriver priset \( y \, \) i kr som en funktion av antalet \( n \, \) sålda ägg.

Lösning:

\( {\color{Red} 1} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 1} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\( {\color{Red} 2} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 2} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\( {\color{Red} 3} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 3} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\( \qquad \cdots \)

\( {\color{Red} n} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} n} \cdot 3 \;{\rm kr} \) eller \( 3\;{\color{Red} n} \;{\rm kr.} \)

Därför är prisfunktionen:

\( y = 3\;{\color{Red} n} \, , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} n}\,= {\rm {\color{Red} {heltal}}\,.} \)

Fil:Diskret prisfunktion agg 50.jpg

Grafen till prisfunktionen visar priset \( y \, \) i kr (vertikal axel)

som en funktion av antalet \( {\color{Red} n} \, \) (horisontell axel).

Därför är dess graf ritad med separerade prickar

och inte med en genomdragen linje.

För att rita en diskret funktions graf måste man lyfta pennan.

\( y = 3\;{\color{Red} n} \) är en

diskret funktion

därför att dess definitionsmängd: alla \( {\color{Red} n} \geq 0\, \) med \( {\color{Red} n} \, \) = heltal är en diskret mängd.

I matematiken betyder diskret åtskild, avgränsad eller separerad och är motsatsen till kontinuerlig. Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade från sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 3 \, \) och inte heller mellan de andra heltalen. "Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Därför är även "antal ägg" diskret: Det finns inga halva eller bråkdel ägg.

Exempel 2 Kontinuerlig funktion

En annan torghandlare säljer ris för \( \, 30 \) kr per kilo.

Ställ upp och rita grafen till prisfunktionen som beskriver priset \( y \, \) kr för \( x \, \) kilo.

Lösning:

Av samma anledning som i Exempel 1 är prisfunktionen här:

\( y = 30\;{\color{Red} x} \, , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} x}\,= {\rm {\color{Red} {reellt\;tal}}\,.} \)

Grafen till Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) visar priset \( y \, \) som en funktion av vikten \( {\color{Red} x} \, \):

Fil:Kontinuerlig prisfunktion ris 70.jpg

Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) med \( {\color{Red} x} \, \) = reellt tal är en

kontinuerlig funktion.

Närmare bestämt är den kontinuerlig för alla \( {\color{Red} x} \, \).

I matematiken betyder kontinuerlig sammanhängande och är motsatsen till diskret. De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal - hur nära varandra de än mår vara - finns alltid oändligt många andra tal.

Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) är kontinuerlig därför att dess definitionsmängd: alla \( {\color{Red} x} \geq 0\, \) med \( {\color{Red} x} \, \) = kg ris är en kontinuerlig mängd. Därför är dess graf ritad med en genomdragen linje. En kontinuerlig funktions graf kan man rita utan att lyfta pennan. T.ex. är alla polynomfunktioner kontinuerliga för alla \( x \, \).

Anmärkning 1: I exemplet ovan har man försummat att ett riskorn väger ca. 0,02 g. Eftersom man inte kan dela ett riskorn kan man - rent teoretiskt - hävda att funktionen i exemplet också är diskret. Vikten växer nämligen inte kontinuerligt utan med ett diskret steg på 0,02 g. Och därmed växer även priset med ett diskret steg på 0,02 g * 3 ören/g = 0,06 ören. Men i praktiken kan man kanske förlåta denna försummelse. Genom att fundera vidare i dessa banor lämnar man matematiken och kommer in i filosofiska diskussioner. Ett annat intressant problem i detta sammanhang är: Är tiden diskret eller kontinuerlig? Inte sättet att mäta den utan tiden i sig. Vi har som vanligt i filosofin inget svar på denna fråga.

Anmärkning 2: I verkligheten finns det - exakt talat - inga kontinuerliga mängder, vilket visar betydelsen av diskreta funktioner. Kontinuitet är en matematisk abstraktion som endast förekommer i talmängder eller andra matematiska objekt. Kontinuerliga funktioner är matematiska modeller som man i regel använder för att beskriva verkligheten. Men i vissa fall föredrar man diskreta modeller. Sådana modeller studeras i en speciell disciplin av matematiken som heter Diskret matematik.

Exempel 3 Fibonaccis problem

Ett exempel på problem som med fördel kan modelleras med diskreta funktioner är följande uppgift som den italienske matematikern Leonardo Pisano Fibonacci år 1202 formulerade i sin bok Liber abaci (Boken om räknekonsten). Fibonaccis problem handlar om kaniners fortplantning:

Fil:Fibonacci problem 60.jpg

Om vi följer uppgiftens lydelse och räknar fram de första månaderna får vi följande tabell:

Antal månader	Antal kaninpar
\( 1\, \)	\( 1\, \)
\( 2\, \)	\( 1\, \)
\( 3\, \)	\( 2\, \)
\( 4\, \)	\( 3\, \)
\( 5\, \)	\( 5\, \)
\( 6\, \)	\( 8\, \)
\( 7\, \)	\( 13\, \)
\( 8\, \)	\( 21\, \)
\( \cdots \)	\( \cdots \)

I den andra kolumnen av tabellen står de s.k. fibonaccitalen. Så här uppstår de enligt uppgiftens inledande lydelse:

De två första månaderna finns det 1 kaninpar. De föder sitt första barnpar först efter 2 månader dvs i månad nr 3, varför det finns 2 kaninpar i månad 3. I månad 4 föder det första paret sitt andra barnpar, varför det finns 3 par i månad 4. I månad 5 föder det första paret sitt tredje barnpar, men även deras första barnpar föder ett nytt par, eftersom det har gått 2 månader sedan deras födelse. Därför finns det 5 par i månad 5. Osv. \( \cdots \)

Praktiskt taget blir det allt svårare att hålla reda på antalet kaninpar när antalet månader växer. Man måste kanske rita någon sorts diagram och anteckna allt från månad till månad. En utväg ur dilemmat vore att upptäcka ett mönster, en struktur, t.ex. ett samband mellan antal månader och kaninpar, en slags laglighet i bildandet av fibonaccitalen som kan beskrivas i form av en funktion.

Undersöker man tabellen noga kan man se följande enkelt mönster:

Mönster::

Summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital.

Fibonaccis funktion

För att beskriva detta mönster inför vi beteckningarna:

\[ n \, = \, {\rm Antalet\;månader} \]

\[ F(n)\, = \, {\rm Antalet\;kaninpar\;i\;månaden} \, n \]

De första två fibonaccitalen tar vi från tabellen ovan. Det är \( 1\, \) och \( 1\, \). Resten - det som följer - är en ren översättning av mönstrets svenska till matematiskt språk som ger oss Fibonaccis funktion:

\( F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\ 1 & \mbox{om } n = 2 \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal} \\ F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \end{cases} \)

Så här brukar man skriva för att för en och samma funktion definiera olika funktionsuttryck i olika delar av dess definitionsmängd. Kanske blir det enklare att förstå den om den skrivs på följande förenklat sätt:

\[\begin{array}{rcl} F(1) & = & 1 \\ F(2) & = & 1 \\ F(n) & = & F(n-1) + F(n-2) \qquad \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \end{array}\]

Formeln ovan definierar en diskret funktion eftersom \( n\, = \, \) antalet kaninpar är heltal. Den kallas Fibonaccis funktion.

De första raderna i definitionen ovan säger att de första två fibonaccitalen är 1 och 1. Den andra raden säger att det n-te fibonaccitalet är summan av de två föregående, vilket är bara en annan formulering av samma mönster vi upptäckte i tabellen.

Med formeln ovan beräknas de 12 första fibonaccitalen till (läs radvis):

Fil:De första 12 Fibonaccitalen 60.jpg

Som man ser växer fibonaccitalen, dvs ökar kaninpopulationen, ganska fort. Nu kan vi äntligen besvara den inledande frågan:

Det kommer att finnas \( 144 \, \) kaninpar om ett år.

Grafen

Så här ser grafen till Fibonaccis funktion för de 12 första fibonaccitalen ut. Antalet kaninpar \( F(n) \, \) har ritats på den vertikala och Antalet månader \( n \, \) på den horisontella axeln:

Fil:Fibonacci 70.jpg

Som man ser är Fibonaccis funktion \( F({\color{Red} n}) \, \) en diskret funktion därför att dess definitionsmängd - bestående av alla \( {\color{Red} n} \, \) - är heltal.

En intressant egenskap av Fibonaccis funktion är att den är rekursiv, vilket betyder att den i sin definition anropar sig själv, fast med olika argument, dvs ett värde beräknas med hjälp av föregående värden. För att se detta titta på Fibonaccis funktion: I en vanlig funktion står \( F(n) \, \) vänster om likhetstecknet och den oberoende variabeln \( n \, \) höger om likhetstecknet. Men här står \( F(n) \, \) på båda sidor likhetstecknet, fast för olika månader (= argument). För att beräkna ett fibonaccital måste man känna till de två föregående. Men eftersom vi har de två första \( F(1) = 1 \, \) och \( F(2) = 1 \, \), s.k. startvärden, kan vi beräkna alla andra successivt dvs rekursivt utgående från dessa startvärden. Att \( F(n) \, \) anropas på båda sidor likhetstecknet är just den rekursiva egenskapen. Därför kallas Fibonaccis formel även Fibonaccis rekursionsformel.

För ett intressant samband mellan fibonaccitalen och det s.k. gyllene snittet se övning 6.