1.2 Räkneordning

<-- Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Diagnosprov kap 1

Lektion 2 Räkneordning

Hur räknar du?

\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 9 \cdot 5 \, = \, 45 \]

\[ {\rm {\color{White} {OBS!}}\quad Rätt:} \qquad\qquad\! 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 6 \, + \, (3 \cdot 5) \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 \]

För att visa hur man tänkt skriver man på det rätta sättet ovan. Men varför är \( \, 21 \, \) rätt och \( \, 45 \, \) fel?

Om du lärt dig räkneordning vet du att räkneordningen inte alltid följer skrivordningen utan snarare följande regel:

Multiplikation går före addition.

Denna regel används när båda räkneoperationerna \( \, + \, \) och \( \, \cdot\;\) är inblandade. Man säger: Operationen \( \, \cdot\;\) har högre prioritet än operationen \( \, + \, \) dvs \( \, \cdot\;\) måste alltid räknas före \( \, + \, \) varför \( \, 3 \, \) gånger \( \, 5 \, \) måste räknas först och \( \, 6 \, + \, 15 \, \) sedan.

Är denna regel något vi bara måste acceptera eller finns det någon logisk förklaring för den? För att besvara frågan måste vi fundera på vad vi egentligen gör när vi multiplicerar.

Varför går multiplikation före addition?

\( {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \, \) kan uppfattas som:

\[ {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} \]

I själva verket är \( \; {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; \) en förkortning för upprepad addition av \( \, 5 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.

När vi sedan fortsätter genom att lägga till \( \, 6 \, + \, \) ser vi att \( \, {\color{Red} 3} \, \) inte längre finns med som ett led i räkneprocessen:

\[ 6 \, + \quad {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; 6 \, + \quad \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 \]

Här kan man inte längre räkna fel, för \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen utan endast en information i förkortningen av den upprepade additionen, dvs antalet gånger som \( \, 5 \, \) ska adderas med sig själv.

Man ser varför det är fel att börja addera \( \, 6 \, \) till \( \, {\color{Red} 3} \, \) när man ska beräkna \( \; 6 \, + \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, \).

Vi förstår prioritetsregeln \( \; \cdot \; \) går före \( \; + \; \) genom att tolka multiplikationen som en upprepad addition.

På köpet ger oss förklaringen ovan insikten om att multiplikationen inte är en ny, genuin räkneoperation utan bygger på addition.

Samma sak är det med division. Inte heller division är en ny, genuin räkneoperation utan är endast upprepad subtraktion. När vi t.ex. räknar \( 30 \, / \, 5 \, \) görs i själva verket följande:

\[ 30 \; \underbrace{- \, 5 \, - \, 5 \, - \, 5 \, - 5 \, - 5 \, - \,5}_{{\color{Red} 6}\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm dvs} \qquad 30 \, / \, 5 \; = \; {\color{Red} 6}\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 \]

Denna tolkning av division kommer även att hjälpa oss att förstå varför man inte får dividera med 0.

De fyra räknesättens prioritetsregler

Både multiplikation och division har alltså högre prioritet än addition och subtraktion.

Addition har samma prioritet som subtraktion.

Multiplikation har samma prioritet som division.

Exempel 1

Vad ger följande uttryck?

\[12-2\cdot3+6\]

Det vanligaste felet man gör är att börja räkna \(12-2\). Istället för att börja räkna måste man titta på hela uttrycket. Då konstaterar man att det finns operatorer med olika prioriteter nämligen \(+\) och \(\cdot\;\) vilket innebär att prioritetsreglerna måste användas:

\[12-2\cdot3+6=12-(2\cdot3)+6=12-6+6=12-0=12\]

Parentesen är här endast till för att förtydliga hur man tänkt och räknat. Observera också likhetstecknets korrekta användning. Skriver man en kedja av likheter för att visa alla mellansteg måste man beakta att det verkligen står exakt samma sak på båda sidor av likhetstecknen. Därför måste t.ex. talet 12 upprepas i alla mellansteg ända till slutet för att upprätthålla likheterna, även om man inte räknar med 12 förrän i det allra sista steget. Genom skicklig användning av räkneordning kan man minimera räknearbetet.

Exempel 2

Här har vi ett lite större uttryck med parenteser:

\[(50+14)-8\cdot3+4\]

Om vi endast tillämpar det vi lärt oss i det här avsnittet dvs räknar först multiplikationen blir lösningen följande:

\[(50+14)-8\cdot3+4 = (50+14)-24+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44\]

Men även följande lösning är helt korrekt:

\[(50+14)-8\cdot3+4 = 64-8\cdot3+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44\]

Här har man löst upp parentesen först vilket inte alls står i motsägelse till prioritetsreglerna. Inom parentesen finns ju ingen annan operator än \(+\) så att det inte uppstår något problem vad gäller operatorprioritet. I nästa steg räknas 8 gånger 3 först och dras av sedan från 64. Viktigt är att man efter första likhetstecknet inte begår felet att räkna \(64-8\) utan tar först 8 gånger 3.

Frågan som uppstår nu är: Vilken av de två lösningarna ovan är bättre? Just i det här exemplet spelar det ingen roll. Men generellt kommer vi att se att det i större sammanhang är bättre att lösa upp paranteser först, dvs att räkna deras innehåll så att man kan ta bort dem. Sedan kan man följa operatorernas prioritetsregler.

Exempel 3

Problem: Beräkna utan miniräknare:

\[24 - (8-4) - 36/6 + 5\cdot4\]

Svar: \( 34 \)

Lösning:

\[24\,-\,(8-4)\,-\,36/6\,+\,5\,\cdot\,4\;=\;24\,-\,4\,-\,6\,+\,20\;=\;20\,-\,6\,+\,20\;=\;14\,+\,20\;=\;34\]

Här har vi förkortat lösningen genom att sammanfatta beräkningen av parentesen, divisionen och multiplikationen i det första mellansteget.

Exempel 4

Problem: Beräkna utan räknare och kontrollera resultatet med räknaren:

\[\left({16-4 \over 3} + 7\right) \cdot 2 - 9/3 + 1 \]

Lösning:

\[ \displaystyle \left({16-4 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,9/3\,+\,1 = \left({12 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = (4+7)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = \]

\[ = 11\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 19\,+\,1 = 20 \]

Här har vi i det första mellansteget börjat att beräkna parentesen och samtidigt utfört divisionen \(9/3\) för att skriva lite mindre. Upplösningen av parentesen fortsätter i det andra mellansteget medan divisionen är avslutad och resultatet tas med i de följande mellanstegen tills parentesen är upplöst och multiplikationen med 2 genomförd.

Vad händer när parenteser är inblandade? Med parenteser kan man bryta prioritetsordningen och styra den själv.

Parenteser och osynliga multiplikationstecken

Om vi i det inledande exemplet sätter parenteser kan vi bryta prioritetsordningen och få 45:

\[(6+3)\cdot5=9\cdot5=45\]

Parentesen tvingar oss här att först räkna \(6+3\) och sedan fortsätta med gånger 5 så att man får 45. Uttrycket till vänster är ett annat uttryck än det inledande exemplet. För att få det inledande exemplet måste paranteserna sättas så här:

\[6+(3\cdot5)=6+15=21\]

Nu är uttrycket till vänster identiskt med det inledande exemplet. Man kan också säga att det fanns i det inledande exemplet "osynliga" parenteser. Det är sådana som kan utelämnas utan att någon ändring sker. Nu har vi gjort dem synliga. De gör exakt samma sak som prioritetsregeln "multiplikation går före addition". Därför utelämnar man dem vanligtvis och låter prioritetsregeln göra jobbet. Men det är inte heller fel att skriva parenteserna för tydlighetens skull.

Det finns inte bara osynliga parenteser. Det är de som kan utelämnas utan problem. Det finns även osynliga multiplikationstecken. De kan också utelämnas utan att någon ändring av uttryckets värde förekommer. I exemplet ovan som inledde "Parenteser" kan man faktiskt utelämna multiplikationstecknet och skriva:

\[(6+3)\,5\]

som ger exakt samma värde 9 gånger 5 = 45 som ovan. Det gör man helt enkelt för att skriva lite mindre så att det blir enklare, av samma anledning förresten som för osynliga parenteser. Självklart kan man inte alltid utelämna multiplikationstecken, t.ex. inte mellan två rena siffror eller tal som ska multipliceras. Läsligheten får ju inte lida. I uttrycket \((6+3)\,5\) är det parentesen som gör att multiplikationstecknet kan utelämnas. I sådana fall måste vi tänka oss först det osynliga multiplikationstecknet och räkna sedan. Se övning 5 i detta avsnitt.

Bråkstreck vs. snedstreck

Det finns två symboler för division: Snedstrecket som t.ex. i \( \, \displaystyle {6/3} \, \) och bråkstrecket som i \( \, \displaystyle {6\over 3} \, \) vars resultat är det samma, nämligen \( \, 2 \, \). Skillnaden är att \( \, \displaystyle {6/3} \, \) är en operation, nämligen att dividera \( \, 6 \, \) med \( \, 3 \, \), medan \( \, \displaystyle {6\over 3} \, \) är ett tal, närmare bestämt ett tal i bråkform. Detta var ett enkelt exempel. Men hur blir det när flera operationer blir inblandade i ett uttryck som involverar bråkstrecket? T.ex.:

\[ 2+6 \over 3+1 \]

\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \, 5 \]

\[ {\rm {\color{White} {OBS!}}\quad Rätt:} \qquad\qquad\! (2 + 6) / (3 + 1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 \]

Speciellt vanligt är detta fel när man använder kalkylatorn och matar in i den \( \, 2 + 6 / 3 + 1 \, \) och får \( \, 5 \, \) i displayen.

Förklaringen är igen vissa "osynliga" parenteser: En av de dolda egenskaperna hos bråkstrecket är nämligen att det grupperar sin täljare \( \, 6+2 \, \) och nämnare \( \, 3+1 \, \) i osynliga parenteser, dvs i sådana som kan utelämnas. Sätter man in dessa i uttrycket ovan ser det ut så här:

\[ {2+6 \over 3+1} = {(2+6) \over (3+1)} = {8 \over 4} = 2 \]

Och då blir det plötsligt klart att det är parenteserna som enligt våra regler måste lösas upp dvs beräknas och tas bort först. Hela lösningen av den ursprungliga divisionen med bråkstreck ser alltså ut så här:

Vill man därmot skriva om divisionen med bråkstreck till divisionen med snedstreck kan man göra det. Båda former är identiska:

\[ {2+6 \over 3+1} = (2+6) / (3+1) \]

Men då är man tvungen att sätta parenteser i snedstreckformen som till skillnad från bråkformen inte får utelämnas. Det är inte fel att i bråkformen skriva de osynliga parenteserna kring täljaren \( 6+2 \) och nämnaren \(3+1\), men de är onödiga. Man brukar utelämna dem därför att bråkstrecket själv gör det redan tydligt att det är hela \( 6+2 \) som ska delas med hela \(3+1\). Däremot blir det ett helt annat uttryck om man utelämnar parenteserna i snedstreckformen, nämligen \(6+2/3+1\) som i själva verket är identiskt med \(6+(2/3)+1\) och ger ett helt annat värde (\(7,666...\)). Detta pga prioritetsregeln "Division går före addition".

Sammanfattning

När både parenteser och operatorer är inblandade i ett räkneuttryck använd följande turordningsregler:

1. Lös upp eventuella parenteser först, dvs räkna deras innehåll.

2. Sedan tar du multiplikationer och divisioner.

3. Sist additioner och subtraktioner.

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=doxCjrqxoRM

http://www.mathgoodies.com/lessons/vol7/order_operations.html

Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.