Ekvationer

Teori

Övningar

Vilken typ av ekvation?

Ekvationer har vi lärt oss ända från grundskolan till gymnasiet. I Matte A-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av typ\[ 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 \]

Sådana ekvationer kallas linjära eller 1:a gradsekvationer eftersom obekanten \( x \) förekommer endast som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. \( x \) är ju samma som \( x^1 \). Högre x-potenser förekommer inte. I Matte B-kursen har vi gått ett steg vidare och löst bl.a. ekvationer av typ\[ x^2 + 6\,x - 16 = 0 \]

Sådana ekvationer kallas icke-linjära, närmare bestämt kvadratiska eller 2:a gradsekvationer därför att obekanten \( x \) förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2 eller som \( x^2 \). Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen.

Den generella lösningen av 3:e- och högre gradsekvationer är så pass svår att den inte behandlas i skolan. Det är t.o.m. omöjligt att med algebraiska operationer dvs \( + \), \( - \), \( \cdot \), \( / \) och\(\sqrt{ }\;\) lösa ekvationer av 5:e och högre grad i generell form, vilket bevisades av den norske matematikern Niels Henrik Abel så sent som 1824. För sådana ekvationer använder man i praktiken numeriska metoder som man ofta programmerar och låter datorn göra jobbet. Vissa specialfall däremot går att lösa algebraiskt. Vi kommer att ta upp en speciell typ av 4:e gradsekvationer som går att återföra till 2:a gradsekvationer. Men först ska vi komplettera våra kunskaper om ekvationslösning med bl.a. ekvationer av typ\[ \sqrt{x + 2} - 7 = x \]

Sådana ekvationer kallas rotekvationer. Vi kommer att lösa dem genom att återföra dem till 2:a gradsekvationer, precis som man återför 2:a gradsekvationer till 1:a gradsekvationer. Man bryter ned den nya, okända typen (svårighetsgraden) till en lägre, redan känd typ.

Rotekvationer

Förekommer obekanten \(x\) under rotsymbolen\(\sqrt{ }\;\) pratar man om en rotekvation. Sådana ekvationer löser man genom att isolera roten på en sida av ekvationen och kvadrera sedan båda leden för att bli av med roten. OBS! Utan isolering kan man inte bli av med roten. Dvs roten måste stå ensam på en sida av ekvationen för att kvadreringen ska kunna eliminera den. Här uppstår nu ett problem som är typisk för rotekvationer: Kvadreringen generar en s.k. falsk rot och tillför den till ekvationen. OBS! Begreppet "rot" har två betydelser: en gång rotsymbolen\(\sqrt{ }\;\) en annan gång är den synonym för "lösning". När man pratar om falsk rot menar man falsk lösning. Vilken av de lösningarna man till sist får, som är falsk, kan man bara få reda på om man verifierar dem i den ursprungliga rotekvationen, dvs sätter in dem i rotekvationen och prövar vilken som är rätt och vilken som är falsk. Den falska roten är inte en lösning av rotekvationen. Fenomenet falsk rot beror på att kvadreringen är en operation vars inversa (omvända) operation (rotdragning) inte är entydig: 2 kvarderat ger 4, men även -2 kvarderat ger 4. Därför definierar man i matematiken rotfunktionen alltid som positiv, t.ex. \( \qquad \sqrt{4}\;= 2\;, \quad {\rm inte}\;-2 \)

Funktionsbegreppet tillåter inte två olika funktionsvärden till ett argument: "En funktion y = f(x) är en regel som tilldelar varje x-värde ENDAST ett y-värde." (se Matte B-kursen).

Här följer ett exempel på hur man löser rotekvationen ovan genom att skriva om den till en 2:a gradsekvation:

\[\begin{align}\sqrt{14 - 10 x} + 3 & = x \qquad \\ \sqrt{14 - 10 x} & = x + 7 \qquad & | \cdot \frac 12 \\ 14 - 10 x & = (x - 3)^2 \qquad & | hoch \quad 2 \\ 14 - 10 x & = x^2 - 6 x + 9 \qquad & | hoch \quad 2 \\ 0 & = x^2 + 4 x - 5 \qquad & | hoch \quad 2 \\ x & = 64 \end{align}\]