1.1 Om tal

Innehåll

1 Talbegreppet
2 Abstraktion
3 De positiva talen
4 Det decimala positionssystemet
5 Exempel 1
6 Exempel 2
7 Exempel 3
8 Exempel 4
9 Internetlänkar

Talbegreppet

Aritmetik \(-\) vårt första kapitel i Matte \(1\)-kursen \(-\) betyder läran om tal. Men vad är tal egentligen? Titta på följande exempel:

Fil:Images tre katter.jpg \(\qquad\) \(\qquad\) Fil:Images tre hundar.jpg \(\qquad\) \(\qquad\)

Självfallet är tre katter inte lika med tre hundar. Men fundera: Vad är det gemensamma hos tre katter och tre hundar? Om man bortser från själva katter och hundar så är det antalet tre som är gemensamt för båda mängder. Och just detta gemensamma kallas för talet 3. Tal kan alltså uppfattas som antalet saker och ting som finns i en mängd. Detta förutsätter att vi redan har lärt oss att räkna saker och ting \(-\) som barn. I själva verket är det en, i regel omedveten tankeprocess som ligger bakom räknandet.

Tankeprocessen består i att bortse från skillnader (katter och hundar) och att bibehålla det gemensamma (antalet tre) hos olika verkliga objekt och kallas:

Abstraktion

abstrahere betyder på latin: att ta bort, att dra av. Man tar bort det som skiljer tre katter från tre hundar och kommer till det som är som gemensamt hos dem: Antalet 3 eller enklare talet 3.

Matematik är en abstrakt vetenskap.

Redan begreppet tal är resultatet av abstraktion i den mänskliga hjärnan: Att bortse från det som skiljer och behålla det som är gemensamt. Källan är alla verkliga objekt som omger oss.

Ett växande barn lär sig denna abstraktionsförmåga under sin uppväxt. Mänskligheten har lärt sig den under den historiska utvecklingen. För oss känns det som en självklarhet att skilja mellan antalet saker och ting i en mängd och mängdens andra egenskaper. Men det finns naturfolk som t.ex. betecknar i sitt språk två kvinnor med ett annat ord än två pilar. De använder olika ord för samma antal när antalen används i kombination med olika objekt. Hos dem har antalet saker och ting i en mängd inte löst sig (inte abstraherats) från mängdens andra egenskaper.

Abstraktion är ett viktigt koncept i allt tänkande, så även i matematiken. Den ger oss inte bara talbegreppet. Man kan t.o.m. säga att hela matematiken består av en rad abstraktioner på olika nivåer. Vill man bli duktig i matte är det bäst att träna sin abstraktionsförmåga. Och hur gör man det? Bl.a. genom att just syssla med matematik!

De positiva talen

Allt vi sade ovan är åtminstone sant om vi nöjer oss med den enklaste typen av tal, de positiva heltalen, kort de positiva talen:

Fil:Positiva tal 20.gif

dvs antalet saker och ting i en mängd \(-\) det som vi kan börja med att räkna med våra fingrar. Generellt är positiva tal alla tal större än 0. Till själva nollan kommer man genom att dra av samma tal från varandra, t.ex. \( 4 - 4 = 0 \). De positiva heltalen bildar tillsammans med 0 de s.k. naturliga talen: 0, 1, 2, 3, 4, ... . Alla andra typer av tal (hela, rationella, reella, komplexa osv.) bygger sin konstruktion på de naturliga talen, är alltså resultat av ytterligare abstraktioner.

Det decimala positionssystemet

Att tänka sig ett tal genom att räkna upp antalet saker och ting i en mängd, är en sak. Att meddela det till andra dvs att tala om eller att skriva upp talet så att alla förstår, är en helt annan sak, i regel svårare.

Man pratar om representation av tal, dvs att visa eller framställa talet. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över är det s.k. decimala positionssystemet. Decimalt heter det därför att det bygger på basen 10 (deci på latin: tio). Dvs man använder de 10 siffrorna för att representera alla tal:

Fil:Siffrorna 0-9.gif

Antagligen har urmänniskan räknat första gången genom att räkna upp sina 10 fingrar.

Det är praktiskt - och vi gör det även idag - att ta sina fingrar till hjälp när man räknar i huvudet. Allt som går över 10 bildas med hjälp av dessa 10. Positionssystem heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna \( \, 0\)-\(9 \, \) i talet som bestämmer talets värde. Det som bestämmer värdet, de olika positionerna har fått beteckningarna ental, tiotal, hundratal, tusental osv. Man börjar att skriva från vänster siffran med det högsta värdet. Sedan följer de andra med nedstigande värden. Så siffran med det minsta värdet, entalet, hamnar längst till höger.

Exempel 1

I talet 312 är - om vi börjar från höger - siffran 2 pga sin position (placering) ett ental. Nästa siffra från höger, 1 är ett tiotal och siffran 3 ett hundratal. Eftersom 3 är ett hundratal har siffran 3 värdet 3\(\cdot\)100 dvs 300. Eftersom 1 är ett tiotal har siffran 1 värdet 1\(\cdot\)10 dvs 10. Analogt har siffran 2 värdet 2\(\cdot\)1 dvs 2. Summerar man alla siffrors värden beräknas talets värde till:

\[3\cdot100 + 1\cdot10 + 2\cdot1 = 300 + 10 + 2 = 312\]

Man säger att 312 är ett sätt - det decimala positionssystemets sätt - att visa (att representera, att framställa) talets värde.

Exempel 2

Om man i exemplet ovan istället för 100 skriver \(10^2\), vilket betyder 10 två gånger sig själv, och istället för 10 skriver \(10^1\), ser man att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra 0-9) multiplicerad med 10-potenser". Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet. Ännu tydligare blir det i följande exempel:

Om du har svårigheter att förstå potenser kom ihåg dina kunskaper från Högstadiet eller läs avsnitt Potenser.

Exempel 3

Problem: Ange talet 5 689 som en summa av termer där varje term har formen "(siffra 0-9) multiplicerad med 10-potenser".

Svar:

\[5\cdot10^3\,+\,6\cdot10^2\,+\,8\cdot10^1\,+\,9\cdot10^0\]

Lösning:

\[5689\;=\;5\cdot1000\,+\,6\cdot100\,+\,8\cdot10\,+\,9\cdot1\;=\;5\cdot10^3\,+\,6\cdot10^2\,+\,8\cdot10^1\,+\,9\cdot10^0\]

Exempel 4

Problem: Siffrorna i talet 96 038 ska flyttas så att man får ett femsiffrigt tal som ligger så nära 40 000 som möjligt.

Svar:

\[39 \, 860\]

Lösning: De två siffrorna närmast 4 (första siffran i 40 000) är 3 och 6. Om vi börjar med siffran 6 skulle den ge värdet 60 000 som är längre bort från 40 000 än om vi börjar med 3. Detta skulle nämligen ge värdet 30 000 som är närmare 40 000. Därför bestämmer vi oss att stanna under 40 000, då blir den första siffran i det tal vi söker, 3. Då får vi 30 000. För att komma så nära 40 000 som möjligt tar vi som nästa siffra den största, nämligen 9. Då får vi 39 000. Den näst största siffran är 8. Då blir det 39 800. Slutligen är bara 6 och 0 kvar, så att det blir 39 860.