3.5 Lösning 7e

Från c) vet vi att SJ:s intäkt efter en prishöjning på $\, x \;{\rm kr} \,$ blir:

$$I(x) = (20\,000 - 80\,x) \cdot (200 + x) = -80\,x^2 + 4\,000\,x + 4\,000\,000$$

SJ:s nuvarande intäkt är:

$$I(0) = 20\,000 \cdot 200 = 4\,000\,000$$

Det löner sig inte med en prishöjning om intäkten efter höjningen är mindre än den nuvarande intäkten:

$$\begin{array}{rcl} -80\,x^2 + 4\,000\,x + 4\,000\,000 & < & 4\,000\,000 \\ -80\,x^2 + 4\,000\,x & < & 0 \\ 80\,x\,(-\,x + 50) & < & 0 \\ 80\,x\,(-\,x + 50) & < & 0 \\ x_1 & < & 0 \\ -\,x + 50 & < & 0 \\ 50 & < & x \\ x_2 & > & 50 \end{array}$$

$\, x_1 \, < \, 0$ innebär en prissänkning vilket inte är lönsamt.

$\, x_2 \, > \, 50$ innebär att alla prishöjningar större än $\, 50 \;{\rm kr} \,$ inte kommer att löna sig, dvs inte kommer att öka SJ:s intäkt.