3.5 Lösning 7c

Vi deriverar målfunktionen\[ I(x) = (20\,000 - 80\,x) \cdot (200 + x) = 4\,000\,000 + 20\,000\,x - 16\,000\,x - 80\,x^2 = \]

\( {\color{White} {I(x)}} = -80\,x^2 + 4\,000\,x + 4\,000\,000 \)

\( I'(x) \, = -160\,x + 4\,000 \)

\( I''(x) \, = -160 \)

Derivatans nollställen\[\begin{array}{rcrcl} I'(x) & = & -160\,x + 4\,000 & = & 0 \\ & & 4\,000 & = & 160\,x \\ & & {4\,000 \over 160} & = & x \\ & & x & = & 25 \end{array}\]

För \( \, x = 25 \, \) ger andraderivatans tecken:

\( I''(25) = - \, 160 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(x) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, x = 25 \, \).

För \( \, x = 25 \, \) blir SJ:s intäkt \( \, I(x) \, \) maximal.