3.5 Lösning 5c

Vi deriverar målfunktionen:

\[ A\,(x) \, = \, x \cdot (9 \, - \, 2\,x) \, = \, 9\,x - \, 2\,x^2 \]

\[ A'(x) \, = \, 9 \, - \, 4\,x \, \]

\[ A''(x) \, = \, -\,4 \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -\,2\,x \, + \, 6 & = & 0 \\ & & 6 & = & 2\,x \\ & & x & = & 3 \end{array}\]

Andraderivatans tecken för \( \, x = 3 \, \):

\( A''(3) = \displaystyle -2 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 3 \, \).

\( x = 3 \, \) är rektangelns ens sida. För att få den andra sidan \( \, y \, \) sätter vi in \( \, x = 3 \, \) i bivillkoret från a):

\[ y \ = \, 6 \, - \, x \ = \, 6 \, - \, 3 \ = \, 3 \]

För \( \, x = 3 \, \) och \( \, y = 3 \, \) blir rektangelns area maximal.

Rektangeln med omkretsen \( \, 12 \, \) och maximal area är en kvadrat med sidan \( \, 3 \, \).