3.2 Lösning 11a

Från Mathonline
Version från den 27 december 2014 kl. 09.10 av Taifun (Diskussion | bidrag)

(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)
Hoppa till: navigering, sök

Vi inför ett koordinatsystem så att triangelns katet med längden \( b \) faller på \( x\)-axeln och kateten med längden \( a \) på \( y\)-axeln och den räta vinkeln hamnar i origo:

Ovn 3 2 11aa.jpg

På så sätt blir hypotenusan del av en rät linje med negativ lutning. Vi kallar rektangelns andra sida för \( \, y \,\). Punkten \( \, (x, y) \, \) rör sig på denna räta linje vars ekvation i \(\,k\)-form är:

\[ y \, = \, k\,x \, + \, m \]

Lutningen \( \, k \, \):

\[ k \, = \, {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {a \over b} \]

Skärningspunkten med \(\,y\)-axeln:

\[ m \, = \, a \]

Den räta linjens ekvation blir då:

\[ y \, = \, - \, {a \over b}\,x \, + \, a \]

Denna ekvation kan uppfattas som det samband mellan \( \, y \,\) och \( \, x \, \) som beskriver att rektangelns "fria" hörn är bunden till rektangelns hypotenusa.

Vi använder sambandet ovan för att ställa upp ett uttryck för arean \( \, A(x, a, b) \, \) som endast beror av \( \, x \):

\[ A(x, a, b) \, = \, x \cdot y \, = \, x \cdot (-\,{a \over b}\,x \, + \, a) \, = \, -\,{a \over b}\,x^2 \, + \, a\,x \]