1.3 Lösning 5b

Från grafen läser man av nollställena 2 och 5. Två nollställen innebär att kurvan visar en polynomfunktion av grad 2. För alla sådana funktioner kan vi skriva följande ansats i faktorform:

\[ y = k \cdot (x-2) \cdot (x-5) \]

där k är någon konstant. Nollställena innebär att y = 0 för alla x = 2 eller x = 5 oavsett k, se a)-delen i uppgiften.

För att bestämma k måste vi använda oss av ytterligare en information av den givna kurvan. Man kan t.ex. avläsa att kurvan skär y-axeln i y = 10, dvs kurvan går genom punkten (0, 10), dvs punkten med x-koordinaten 0 och y-koordinaten 10. Sätter vi in dessa värden, 0 för x och 10 för y, i ansatsen ovan får vi en ekvation för k:

\[ \begin{align} 10 & = k \cdot (0-2) \cdot (0-5) \\ 10 & = k \cdot (-2) \cdot (-5) \\ 10 & = k \cdot 10 \\ k & = 1 \\ \end{align}\]

Därför kan vi ange det polynom vars graf visas i uppgften, som:

\[ (x-2) \cdot (x-5) \]