1.2 Lösning 11a
\( Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) = x^2 - b\,x - a\,x + a\,b = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b \)
\( Q(x) = 1 \cdot x^2 - (a+b) \cdot x^1 + a\,b \cdot x^0 \)
\( P(x) = 1 \cdot x^2 - 10 \cdot x^1 + 16 \cdot x^0 \)
Jämförelse av koefficienterna till \( x^1 \) leder till:
- \[\begin{align} - (a+b) & = - 10 \\ a + b & = 10 \\ b & = 10 - a \\ \end{align} \]
Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \) leder till:
- \[ a \cdot b = 16 \]
Sätter man in i denna relation \( b = 10 - a \) får man:
- \[\begin{align} a \cdot (10 - a) & = 16 \\ 10\,a - a^2 & = 16 \\ 0 & = a^2 - 10\,a + 16 \\ a_{1,2} & = 5 \pm \sqrt{25 - 16} \\ a_1 & = 8 \\ a_2 & = 2 \\ \end{align} \]
Sätter man in dessa värden tillbaka i t.ex. a b = 16 får man:
- \[\begin{align} 8 \cdot b_1 & = 16 \\ b_1 & = 2 \\ 2 \cdot b_2 & = 16 \\ b_2 & = 8 \\ \end{align} \]
Polynomen \( P(x)\, \) och \( Q(x)\, \) är lika med varandra för \( a = 8 \) och \( b = 2 \) och för \( a = 2 \) och \( b = 8 \). I båda fall kan vi konstatera följande intressant identitet som direkt leder oss till nästa avsnittet: Polynom i faktorform. Vi har fått fram en faktorisering av polynomet \( P(x)\, \)\[ P(x) = x^2 - 10 \, x + 16 = (x - 2) \cdot (x - 8) = Q(x)\]
