Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 12b"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (Created page with "Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat: <math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </m...")
 
m
Rad 1: Rad 1:
Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat:
+
I övning 12a) hade vi fått följande delfaktorisering av <math> P(x)\,</math> :
  
<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </math>
+
<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) </math>
  
I 11 a) hade vi bestämt <math> Q(x)\, </math> till:
+
För en fullständig faktorisering återstår faktoriseringen av polynomet <math> Q(x)\, </math>:
  
<math> Q(x) = x^2 - 9\,x + 20 </math>
+
<math> Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 </math>
  
Delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> blir då:
+
Därför sätter vi upp ekvationen:
  
<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) </math>
+
<math> x^2 + 3\,x + 2 = 0 </math>
 
+
För att fullständigt faktorisera 4:e gradspolynomet måste även <math> Q(x)\, </math> faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen:
+
 
+
<math> x^2 - 9\,x + 20 = 0 </math>
+
  
 
Vietas formler ger :
 
Vietas formler ger :
  
<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-9) = 9   \\
+
<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -3   \\
                     x_1 \cdot x_2 & = 20
+
                     x_1 \cdot x_2 & = 2
 
         \end{align}</math>
 
         \end{align}</math>
  
Det är enkelt att få lösningarna <math> x_1 = 4\, </math> och <math> x_2 = 5\, </math> ur dessa relationer.  
+
Det är enkelt att få lösningarna <math> x_1 = -1\, </math> och <math> x_2 = -2\, </math> ur dessa relationer.  
  
 
Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här:
 
Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här:
  
<math> Q(x)= x^2 - 9\,x + 20 = (x - 4) \cdot (x - 5) </math>
+
<math> Q(x)= x^2 + 3\,x + 2 = (x + 1) \cdot (x + 2) </math>
 
+
Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 4:e gradspolynomet i början:
+
 
+
<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </math>
+
  
får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet:
+
Detta resultat ger den fullständiga faktoriseringen av <math> P(x)\, </math>:
  
<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x - 4) \cdot (x - 5) </math>
+
<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) </math>

Versionen från 22 september 2012 kl. 16.52

I övning 12a) hade vi fått följande delfaktorisering av \( P(x)\,\) \[ P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) \]

För en fullständig faktorisering återstår faktoriseringen av polynomet \( Q(x)\, \)\[ Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 \]

Därför sätter vi upp ekvationen\[ x^2 + 3\,x + 2 = 0 \]

Vietas formler ger \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -3 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}\]

Det är enkelt att få lösningarna \( x_1 = -1\, \) och \( x_2 = -2\, \) ur dessa relationer.

Således kan \( Q(x)\, \) faktoriseras så här\[ Q(x)= x^2 + 3\,x + 2 = (x + 1) \cdot (x + 2) \]

Detta resultat ger den fullständiga faktoriseringen av \( P(x)\, \)\[ P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) \]