Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 12a"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | + | Låt oss kalla polynomet <math> P(x)\,</math>:s två nollställen som har samma absolutbelopp, men olika förtecken, för <math> a\, </math>. Detta innebär följande delfaktorisering av <math> P(x)\, </math>: | |
<math> \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\ | <math> \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\ | ||
| Rad 5: | Rad 5: | ||
\end{align} </math> | \end{align} </math> | ||
| − | där <math> Q(x)\, </math> är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter | + | där <math> Q(x)\, </math> är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter b, c och d vi får bestämma: |
<math> Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d </math> | <math> Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d </math> | ||
| − | + | Dessutom måste vi bestämma <math> a\, </math>. Då kan vi skriva <math> P(x)\,</math>:s delfaktorisering så här: | |
| − | <math> P(x) = x^4 | + | <math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) </math> |
| − | Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma | + | Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma a, b, c och d. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna: |
<math> \begin{align} & x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x^2 + 2\,x + 1) \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) = \\ | <math> \begin{align} & x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x^2 + 2\,x + 1) \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) = \\ | ||
Versionen från 22 september 2012 kl. 15.38
Låt oss kalla polynomet \( P(x)\,\):s två nollställen som har samma absolutbelopp, men olika förtecken, för \( a\, \). Detta innebär följande delfaktorisering av \( P(x)\, \)\[ \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\ & = (x^2-a^2) \cdot Q(x) \end{align} \]
där \( Q(x)\, \) är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter b, c och d vi får bestämma\[ Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d \]
Dessutom måste vi bestämma \( a\, \). Då kan vi skriva \( P(x)\,\):s delfaktorisering så här\[ P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) \]
Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma a, b, c och d. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna\[ \begin{align} & x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x^2 + 2\,x + 1) \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) = \\ & = a\,x^4 + b\,x^3 + c\,x^2 + 2\,a\,x^3 + 2\,b\,x^2 + 2\,c\,x + a\,x^2 + b\,x + c = \\ & = a\,x^4 + (b+2\,a)\,x^3 + (c+2\,b+a)\,x^2 + (2\,c+b)\,x + c \end{align}\]
Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger\[ \begin{align} a & = 1 \\ b + 2\,a & = -7 \\ c + 2\,b + a & = 3 \\ 2\,c +b & = 31 \\ c & = 20 \end{align}\]
Genom insättning av \( a = 1\, \) i den andra ekvationen får vi\[ \begin{align} b + 2\cdot 1 & = -7 \\ b + 2 & = -7 \\ b & = -9 \end{align}\]
Genom insättning av \( b = -9\, \) i den tredje får vi\[ \begin{align} c + 2\cdot(-9) + 1 & = 3 \\ c - 18 + 1 & = 3 \\ c - 17 & = 3 \\ c & = 20 \end{align}\]
Den fjärde ekvationen bekräftar vårt resultat\[ \begin{align} 2\cdot 20 + (-9) & = 31 \\ 40 - 9 & = 31 \end{align}\]
Och det gör även den femte ekvationen\[ c = 20\, \]
Därmed har vi bestämt polynomet \( Q(x)\, \)\[ Q(x) = x^2 - 9\,x + 20 \]
Delfaktoriseringen av \( P(x)\, \) blir då\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) \]
