Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 11a"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 11: | Rad 11: | ||
<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) </math> | <math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) </math> | ||
| − | Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma koefficienterna a, b och c. | + | Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma koefficienterna a, b och c. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna: |
| + | |||
| + | <math> \begin{align} x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 & = (x^2 + 2\,x + 1) \cdot (a\,x^2 + b\,x + c = \\ | ||
| + | & = a\,x^4 + b\,x^3 + c\,x^2 + 2\,a\,x^3 + 2\,b\,x^2 + 2\,c\,x + a\,x^2 + b\,x + c = \\ | ||
| + | & = a\,x^4 + (b+2\,a)\,x^3 + (2\,b+a)\,x^2 + (2\,c+b)\,x + c | ||
| + | \end{align}</math> | ||
| + | |||
| + | Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger: | ||
| + | |||
| + | <math> \begin{align} a & = 1 \\ | ||
| + | b - 4\,a & = -17 \\ | ||
| + | c - 4\,b & = 54 \\ | ||
| + | - 4\,c & = -8 | ||
| + | \end{align}</math> | ||
| + | |||
| + | Genom insättning av <math> a = 1\, </math> i den andra ekvationen får vi: | ||
| + | |||
| + | <math> \begin{align} b - 4\cdot 1 & = -17 \\ | ||
| + | b - 4 & = -17 \\ | ||
| + | b & = -17 + 4 \\ | ||
| + | b & = -13 | ||
| + | \end{align}</math> | ||
| + | |||
| + | Genom insättning av <math> b = -13\, </math> i den tredje får vi: | ||
| + | |||
| + | <math> \begin{align} c - 4\,b & = 54 \\ | ||
| + | c - 4\cdot(-13) & = 54 \\ | ||
| + | c + 52 & = 54 \\ | ||
| + | c & = 2 | ||
| + | \end{align}</math> | ||
| + | |||
| + | Den fjärde ekvationen bekräftar vårt resultat: | ||
| + | |||
| + | <math> \begin{align} - 4\,c & = -8 \\ | ||
| + | - 4\cdot 2 & = -8 | ||
| + | \end{align}</math> | ||
| + | |||
| + | Därmed har vi bestämt polynomet <math> Q(x)\, </math>: | ||
| + | |||
| + | <math> Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 </math> | ||
Versionen från 19 september 2012 kl. 14.09
Dubbelroten \( x = -1\,\) innebär följande delfaktorisering av \( P(x)\, \)\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) \]
där \( Q(x)\, \) är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter a, b och c vi får bestämma\[ Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \]
Detta ger följande delfaktorisering av \( P(x)\, \)\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) \]
Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma koefficienterna a, b och c. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna\[ \begin{align} x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 & = (x^2 + 2\,x + 1) \cdot (a\,x^2 + b\,x + c = \\ & = a\,x^4 + b\,x^3 + c\,x^2 + 2\,a\,x^3 + 2\,b\,x^2 + 2\,c\,x + a\,x^2 + b\,x + c = \\ & = a\,x^4 + (b+2\,a)\,x^3 + (2\,b+a)\,x^2 + (2\,c+b)\,x + c \end{align}\]
Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger\[ \begin{align} a & = 1 \\ b - 4\,a & = -17 \\ c - 4\,b & = 54 \\ - 4\,c & = -8 \end{align}\]
Genom insättning av \( a = 1\, \) i den andra ekvationen får vi\[ \begin{align} b - 4\cdot 1 & = -17 \\ b - 4 & = -17 \\ b & = -17 + 4 \\ b & = -13 \end{align}\]
Genom insättning av \( b = -13\, \) i den tredje får vi\[ \begin{align} c - 4\,b & = 54 \\ c - 4\cdot(-13) & = 54 \\ c + 52 & = 54 \\ c & = 2 \end{align}\]
Den fjärde ekvationen bekräftar vårt resultat\[ \begin{align} - 4\,c & = -8 \\ - 4\cdot 2 & = -8 \end{align}\]
Därmed har vi bestämt polynomet \( Q(x)\, \)\[ Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 \]
