Skillnad mellan versioner av "1.1 Lösning 11"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
Först förenklar vi ekvationen genom att ordna termerna och bli av med bråken: | Först förenklar vi ekvationen genom att ordna termerna och bli av med bråken: | ||
| − | :<math>\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad | + (x^2 + 4\,x + 1) \\ | + | ::<math>\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad | + (x^2 + 4\,x + 1) \\ |
{1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2} & & \qquad | \cdot 2 \\ | {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2} & & \qquad | \cdot 2 \\ | ||
(x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) & = 3 & & \qquad | - 3 \\ | (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) & = 3 & & \qquad | - 3 \\ | ||
| Rad 13: | Rad 13: | ||
Ersätter man i 4:e gradsekvationen <math> (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3 = 0 </math> enligt substitutionen ovan <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> med <math> \displaystyle t </math> får man den 2:e gradsekvation <math> t^2 + 2\,t - 3 = 0 </math> som kan lösas med pq-formeln: | Ersätter man i 4:e gradsekvationen <math> (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3 = 0 </math> enligt substitutionen ovan <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> med <math> \displaystyle t </math> får man den 2:e gradsekvation <math> t^2 + 2\,t - 3 = 0 </math> som kan lösas med pq-formeln: | ||
| − | :::<math>\begin{align} t^2 + 2\,t - 3 & = 0 & & \\ | + | :::::<math>\begin{align} t^2 + 2\,t - 3 & = 0 & & \\ |
x^2 + 1 & = 9\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad | \;\; - x^2 \\ | x^2 + 1 & = 9\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad | \;\; - x^2 \\ | ||
1 & = 8\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad | \;\; - 1 \\ | 1 & = 8\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad | \;\; - 1 \\ | ||
Versionen från 21 november 2010 kl. 16.47
Först förenklar vi ekvationen genom att ordna termerna och bli av med bråken:
- \[\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad | + (x^2 + 4\,x + 1) \\ {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2} & & \qquad | \cdot 2 \\ (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) & = 3 & & \qquad | - 3 \\ (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3 & = 0 \\ \end{align}\]
Nu kan man se att samma uttryck (x^2 + 4\,x + 1) som involverar obekanten x förekommer två gånger i ekvationen. Ersätter man det med en ny variabel kan ekvationen förenklas väsentligt. Gör man det på rätt sätt går 4:e gradsekvationen över till en 2:e gradsekvation:
Substitutionen \( t = x^2 + 4\,x + 1 \) åstadkommer detta.
Ersätter man i 4:e gradsekvationen \( (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3 = 0 \) enligt substitutionen ovan \( x^2 + 4\,x + 1 \) med \( \displaystyle t \) får man den 2:e gradsekvation \( t^2 + 2\,t - 3 = 0 \) som kan lösas med pq-formeln:
- \[\begin{align} t^2 + 2\,t - 3 & = 0 & & \\ x^2 + 1 & = 9\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad | \;\; - x^2 \\ 1 & = 8\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad | \;\; - 1 \\ 0 & = 8\,x^2 - 18\,x + 8 & & \qquad | \;\; / 8 \\ 0 & = x^2 - 2,25\,x + 1 \\ x_{1,2} & = 1,125 \pm \sqrt{1,266 - 1} \\ x_{1,2} & = 1,125 \pm 0,515 \\ x_1 & = 1,64 \\ x_2 & = 0,61 \\ \end{align}\]
Sätter vi tillbaka \( t = 1 \) i substitutionen ovan\[ 1 = \sqrt{x} \] och kvadrerar får vi lösningen \( x = 1 \).
Prövning av \( x_1 = 1,64 \):
VL\[ \sqrt{1,64^2 + 1} = 1,92 \]
HL\[ 3\cdot1,64 - 3 = 1,92 \]
VL = HL \( \Rightarrow\, x = 1,64 \) är en sann rot. I denna uppgift räcker det att visa en sann rot.
Den andra lösningen \( x_1 = 0,61 \) är en falsk rot vilket återstår att visa.
