Skillnad mellan versioner av "1.1 Lösning 11"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 7: | Rad 7: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | + | Nu kan man se att samma uttryck (x^2 + 4\,x + 1) som involverar obekanten x förekommer två gånger i ekvationen. Ersätter man det med en ny variabel kan ekvationen förenklas väsentligt. Gör man det på rätt sätt går 4:e gradsekvationen över till en 2:e gradsekvation: | |
| − | Ersätter man i ekvationen <math> 2\,\ | + | Substitutionen <math> t = x^2 + 4\,x + 1 </math> åstadkommer detta. |
| + | |||
| + | Ersätter man i ekvationen <math> (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3 = 0 </math> enligt substitutionen ovan <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> med t får man: | ||
<math>\begin{align} x^2 + 1 & = (3\,x - 3)^2 & & \\ | <math>\begin{align} x^2 + 1 & = (3\,x - 3)^2 & & \\ | ||
Versionen från 21 november 2010 kl. 16.42
Först förenklar vi ekvationen genom att ordna termerna och bli av med bråken\[\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad | + (x^2 + 4\,x + 1) \\ {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2} & & \qquad | \cdot 2 \\ (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) & = 3 & & \qquad | - 3 \\ (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3 & = 0 \\ \end{align}\]
Nu kan man se att samma uttryck (x^2 + 4\,x + 1) som involverar obekanten x förekommer två gånger i ekvationen. Ersätter man det med en ny variabel kan ekvationen förenklas väsentligt. Gör man det på rätt sätt går 4:e gradsekvationen över till en 2:e gradsekvation:
Substitutionen \( t = x^2 + 4\,x + 1 \) åstadkommer detta.
Ersätter man i ekvationen \( (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3 = 0 \) enligt substitutionen ovan \( x^2 + 4\,x + 1 \) med t får man\[\begin{align} x^2 + 1 & = (3\,x - 3)^2 & & \\ x^2 + 1 & = 9\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad | \;\; - x^2 \\ 1 & = 8\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad | \;\; - 1 \\ 0 & = 8\,x^2 - 18\,x + 8 & & \qquad | \;\; / 8 \\ 0 & = x^2 - 2,25\,x + 1 \\ x_{1,2} & = 1,125 \pm \sqrt{1,266 - 1} \\ x_{1,2} & = 1,125 \pm 0,515 \\ x_1 & = 1,64 \\ x_2 & = 0,61 \\ \end{align}\]
Sätter vi tillbaka \( t = 1 \) i substitutionen ovan\[ 1 = \sqrt{x} \] och kvadrerar får vi lösningen \( x = 1 \).
Prövning av \( x_1 = 1,64 \):
VL\[ \sqrt{1,64^2 + 1} = 1,92 \]
HL\[ 3\cdot1,64 - 3 = 1,92 \]
VL = HL \( \Rightarrow\, x = 1,64 \) är en sann rot. I denna uppgift räcker det att visa en sann rot.
Den andra lösningen \( x_1 = 0,61 \) är en falsk rot vilket återstår att visa.
