Skillnad mellan versioner av "1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner"

Nuvarande version från 1 juli 2024 kl. 11.25

I matematiken betyder diskret åtskild, avgränsad eller separerad och är motsatsen till kontinuerlig.

Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade från sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 3 \, \) och inte heller mellan de andra heltalen.

"Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Därför är t.ex. "antal ägg" diskret: Det finns inga halva eller bråkdel ägg.

Exempel 1 Diskret funktion

En torghandlare säljer ägg för \( \, 3 \) kr per styck. \( {\color{Red} 1} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 1} \cdot 3 \;{\rm kr,} \) \( {\color{Red} 2} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 2} \cdot 3 \;{\rm kr,} \) \( {\color{Red} 3} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 3} \cdot 3 \;{\rm kr,} \qquad \cdots \) \( {\color{Red} n} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} n} \cdot 3 \;{\rm kr} \) eller \( 3\;{\color{Red} n} \;{\rm kr.} \) Därför är prisfunktionen: \( y = 3\;{\color{Red} n} \, , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} n}\,= {\rm {\color{Red} {heltal}}\,.} \)

Grafen till prisfunktionen visar priset \( y \, \) i kr (vertikal axel)         som en funktion av antalet \( {\color{Red} n} \, \) (horisontell axel).         Grafen till en diskret funktion ritas med separerade         punkter och inte med en genomdragen linje.         För att rita en diskret funktions graf måste man         lyfta pennan.

\( \quad\; y \, \) är priset i kr. \( \quad\; \color{Red} n \, \) är antalet ägg.

\( y = 3\;{\color{Red} n} \) är en

diskret funktion

   därför att dess definitionsmängd är en

diskret mängd

   nämligen alla heltal \( {\color{Red} n} \geq 0\, \).

I matematiken betyder kontinuerlig sammanhängande och är motsatsen till diskret.

De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal - hur nära varandra de än mår vara - finns alltid oändligt många andra tal.

En mängd vätska t.ex. är kontinuerlig: Det finns halva eller alla möjliga bråkdelar av mängden.

Exempel 2 Kontinuerlig funktion

En annan torghandlare säljer färskpressad granatäppeljuice för \( \, 30 \) kr per liter. Av samma anledning som i Exempel 1 är prisfunktionen här: \( y = 30\;{\color{Red} x} \, , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} x}\,= {\rm {\color{Red} {reellt\;tal}}\,.} \) \( \quad\; y \, \) är priset i kr. \( \quad\;\;\; \color{Red} x \, \) är mängden i liter. \( y = 30\;{\color{Red} x} \) är en kontinuerlig funktion

Grafen till Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) visar priset \( y \, \)         som en funktion av mängden \( {\color{Red} x} \) (i liter).         Grafen till en kontinuerlig funktion ritas med en         genomdragen linje och inte med separerade punkter.         En kontinuerlig funktions graf kan man rita         utan att lyfta pennan.

därför att dess definitionsmängd är en

kontinuerlig mängd

    nämligen alla reella tal \( {\color{Red} x} \geq 0\, \).

Exempel 3 Fibonaccis talföljd

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=SKRjz2aTqCY

http://www.youtube.com/watch?v=cvnG0YWPLjQ

http://www.sigma8.se/dokument/TabyFriskola_Amnesrapport_OK_2012.pdf

http://www03.edu.fi/svenska/oppimateriaalit/arkimatematiikkaa/fibona.html

http://paranormal.se/topic/det_gyllene_snittet.html

http://www.math.fau.edu/MathCircle_at_FAU/MC130713Problems.pdf

Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.