Skillnad mellan versioner av "2.6 Derivatan av exponentialfunktioner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
Rad 4: | Rad 4: | ||
{{Not selected tab|[[2.3 Gränsvärde| << Förra demoavsnitt]]}} | {{Not selected tab|[[2.3 Gränsvärde| << Förra demoavsnitt]]}} | ||
{{Selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Genomgång]]}} | {{Selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Genomgång]]}} | ||
− | {{Not selected tab|[[ | + | {{Not selected tab|[[Dessa övningar ingår inte i demon.|Övningar]]}} |
{{Not selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}} | {{Not selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}} | ||
{{Not selected tab|[[3.2 Lokala maxima och minima|Nästa demoavsnitt >> ]]}} | {{Not selected tab|[[3.2 Lokala maxima och minima|Nästa demoavsnitt >> ]]}} |
Versionen från 30 januari 2019 kl. 14.22
<< Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa demoavsnitt >> |
Målet i detta avsnitt är att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( \, y = a\,^x \, \) med en godtycklig bas \( a > 0 \).
Detta gör vi genom att först härleda derivatan av exponentialfunktionen \( \, y = e\,^x \, \) med basen \( \, e = \) Eulers tal
och sedan gå över till godtycklig bas \( \,a \). Rpeptera gärna Talet e och den naturliga logaritmen från kap 1 Algebra & funktioner.
Deriveringsregeln för \( y \, = \, e\,^x \)
Derivatan av exponentialfunktionen med basen \( \, e \, \) är funktionen själv:
- \[ \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y & = & e\,^x \;\; {\rm där} \;\; e = {\rm Eulers\;tal} \\ {\rm då} & y\,' & = & e\,^x \end{array}\]
OBS! Förväxla denna regel inte med Regeln om derivatan av en potens, därför att:
\( y \, = \, e\,^x \, \) är ingen potens- utan en exponentialfunktion. \( \, x \, \) förekommer i exponenten, inte i basen.
Ex.: Derivatan av \( \, f(x) = e\,^2 \, \) är inte \( \, 2 \, e \, \) utan \( \; f\,'(x) = 0 \; \), för \( \, e \, \, = \, 2,718281828\ldots\) är en konstant och därmed även \( \, e\,^2 \, \).
Försök med derivatans definition
Derivatans definition för \( \, y = f(x) = e\,^x \, \) leder till:
\[ y\,' = \lim_{h \to 0}\,{f(x + h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0}\,{e\,^{x + h} - e\,^x \over h} = \lim_{h \to 0}\,{e\,^x \cdot e\,^h - e\,^x \over h} = \lim_{h \to 0}\,{e\,^x \, (e\,^h - 1) \over h} = e\,^x \cdot \lim_{h \to 0}\,{e\,^h - 1 \over h} \]
Värdet på den sista limes är \( \, 1 \) vilket kan visas med s.k. potensserieutveckling av \( \, e\,^x \) \(-\) som dock inte ingår i gymnasiematematiken.
Därför väljer vi en annan metod för att bevisa deriveringsregeln \( \; y = e\,^x \, \Rightarrow \, y\,' = e\,^x \, \).
Ny bevisidé
Istället för att fråga efter derivatan, kräver vi derivatan = funktionen och frågar efter en bas som uppfyller detta krav.
Svaret ges av Eulers bevis nedan.
Frågeställningen ovan har i matematikens historia motiverat den schweiziske matematikern Leonard Euler att ställa upp sin berömda formel för beräkning av talet \( \, e \, \) som redan nämndes i Hur kom(mer) talet \( \, e \,\) till? och som vi nu med limes kan formulera så här:
- \[ \lim_{n \to \infty} {\left(1 + {1 \over n}\right)^n} \; =\; e \; = \; 2,718281828\ldots \]
På 1700-talet bevisade Euler denna formel, varför talet \( \, e \, \) kallats efter honom.
Eulers bevis
Vi antar att det finns en bas \( \,b \, > \, 0 \) \(-\) som än så länge är okänd \(-\) så att:
- \[\begin{array}{lclcl} y & = & f\,(x) & = & b\,^x \\ {\color{Red} {y\,'}} & {\color{Red} =} & {\color{Red} {f\,'\,(x)}} & {\color{Red} =} & {\color{Red} {b\,^x}} \end{array}\]
I den andra raden har vi formulerat kravet: derivatan = funktionen.
Nu konstruerar vi tangenten till \( y = b\,^x \) i punkten \( \,x = 0 \):
Ekvationen för tangenten till kurvan \( y = b\,^x \) i punkten \( \,x = 0 \) har \(\,k\)-formen \( \; y \, = \, k\,x \, + \, m \; \) .
Från tidigare vet vi att tangenten till kurvan \( \, y = b\,^x \, \) i \( \, x = 0 \, \) har en lutning \(\,k\,\) som är funktionens derivata i denna punkt.
Andra exponentialfunktioner \( \, y = c\,^x \, \) med \( \, c \neq b \, \) skär denna tangent i två punkter, medan \( \, y = b\,^x \, \) med \( \, y\,' = b\,^x \, \) tangerar den i punkten \( \, (0, 1) \).
På tangenten \( \, y = x + 1 \, \) konstruerar vi en punktföljd \( P_1, \, P_2, \, P_3, \, \ldots \) vars \( \,x\)-koordinater \( \, x_n \, \) bildar talföljden:
- \[ 1, \, {1 \over 2}, \, {1 \over 3}, \, {1 \over 4}, \, \ldots \quad {\rm med} \quad x_n \, = \, {1 \over n} \quad {\rm som\;allmän \;term,\;där:} \qquad n = 1,\,2,\,3,\,\ldots \]
Talföljden \( \,x_n \, \) ger pga \( \, y = x + 1 \, \) upphov till följande talföljd:
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} {\left(1 + {1 \over n}\right)^n} \, = \, \lim_{n \to \infty} {b_n} \, = \, b \, \) som visar sig vara samma tal vars värde vi numeriskt hade fått fram i Hur kom(mer) talet \( \, e \,\) till? :
\( n \) | \( 1\,000 \) | \( 1000\,000 \) | \( 1000\,000\,000 \) | \( 10\,000\,000\,000 \) | \( \to \infty \) |
\( \left(1 + {1 \over n}\right)^n \) | \( {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots \) | \( {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots \) | \( {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots \) | \( {\color{Red} {2,718281828\ldots}} \) | \( \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad \) |
---|
Detta demonstrerar att \( \; \displaystyle \lim_{n \to \infty} {\left(1 + {1 \over n}\right)^n} \, = \, e \; \) dvs den efterfrågade basen \( \, b \, \) är just Eulers tal \( \, e \, \).
Den inledande frågan i Ny bevisidé kan nu besvaras:
Svar:
Därför gäller Deriveringsregeln för \( \, y \,= \,e\,^x \, \) som ställdes upp inledningsvis. Men:
Hur blir det när konstanter är inblandade?
Deriveringsregeln för \( y = C\,e\,^{k\,x} \)
Regel: \[ \begin{array}{ll} {\rm Derivatan\;av} & y \;\, = \; C\;e\,^{k\,x} \;\; {\rm där} \;\; C,\,k = {\rm const.} \\ {\rm är} & y\,' = \; C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \end{array}\] Om \( \, C \, \), se Derivatan av en funktion med en konstant faktor. Om \( \, k \, \), se Kedjeregeln i kursen Matematik 4.
|
\( \quad \) | Exempel 1 För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; 2\,e\,^{-\,x} \; \) blir derivatan:
Exempel 2 För funktionen \( f(x) \; = \; -4\,e\,^{-3\,x} \; \) blir derivatan:
|
Från att ha ställt upp deriveringsregeln för \( \, y = e\,^x \, \) går vi nu över till den allmänna exponentialfunktionen \( \, y = a\,^x \, \) med godtycklig bas \( a > 0\, \):
Deriveringsregeln för \( \, y = a\,^x \)
- \[ \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y & = & a\,^x \;\; {\rm där} \;\; a = {\rm godtycklig\;konstant} \, > \,0 \\ {\rm då} & y\,' & = & a\,^x \, \cdot \, \ln a \end{array}\]
Specialfallet \( \, a = e \, \) och \( \ln a = \ln e = 1 \, \) ger derveringsregeln \( \,y\,' = e^x \, \) för exponentialfunktionen med basen \( \, e \).
Bevis
Vi börjar med att skriva om basen \( \, a \, \) till \( \,e\,^{\ln a} \, \), vilket är möjligt pga inversegenskapen. Då blir det:
- \[\begin{array}{rcll} y & = & a\,^x \qquad & : \quad a \, = \,e\,^{\ln a} {\rm \;enligt\;inversegenskapen} \\ y & = & \left(e\,^{\ln a}\right)^x \qquad & : \quad {\rm 3:e\;potenslagen\;på\;HL} \\ y & = & e\,^{(\ln a) \, \cdot \, x} \qquad & : \quad \ln a \, = \, k \\ y & = & e\,^{k \, \cdot \, x} \qquad & | \quad {\rm Derivera\;enligt\;regeln\;ovan} \\ y\,' & = & k \, \cdot \, e\,^{k\,x} \qquad & : \quad k \, = \, \ln a \\ y\,' & = & (\ln a) \, \cdot \, e\,^{(\ln a)\,x} \qquad & : \quad {\rm 3:e\;potenslagen\;på\;HL} \\ y\,' & = & (\ln a) \, \cdot \, \left(e\,^{\ln a}\right)^x \qquad & : \quad e\,^{\ln a} \, = a\, {\rm \;enligt\;inversegenskapen} \\ y\,' & = & (\ln a) \, \cdot \, a^x \\ y\,' & = & a^x \, \cdot \, \ln a \end{array}\]
Ganska liknande basen \( \, e \, \) blir det när konstanter är inblandade i den allmänna exponentialfunktionen \( \, y = a\,^x \, \):
Deriveringsregeln för \( y = C\,a\,^{k\,x} \)
Derivatan av exponentialfunktionen \( y = C\,a\,^{k\,x} \) med godtycklig bas \( \, a > 0 \) och \( C,\,k = {\rm const.} \)
- \[ \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y & = & C\,a\,^{k\,x} \;\; {\rm där} \;\; a > 0,\;\; C,\,k = {\rm const.} \\ {\rm då} & y\,' & = & C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \end{array}\]
Uppdaterad tabell över deriveringsregler
Vi utvidgar tabellen över deriveringsregler från förra avsnitt med våra nya resultat i detta avsnitt.
I följande tabell är \( C,\,c,\,a,\,k,\,m,\,n \) konstanter medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler:
\( y\, \) | \( y\,' \) |
---|---|
\( c\, \) | \( 0\, \) |
\( x\, \) | \( 1\, \) |
\( a\; x \) | \( a\, \) |
\( k\; x \, + \, m \) | \( k\, \) |
\( x^2\, \) | \( 2\,x \) |
\( a\,x^2 \) | \( 2\,a\,x \) |
\( x^n\, \) | \( n\cdot x\,^{n-1} \) |
\( a\,x\,^n \) | \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \) |
\( \displaystyle {1 \over x} \) | \( \displaystyle - {1 \over x^2} \) |
\( \sqrt{x} \) | \( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \) |
\( e\,^x \) | \( e\,^x \) |
\( e\,^{k\,x} \) | \( k\cdot e\,^{k\,x} \) |
\( C\cdot e\,^{k\,x} \) | \( C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \) |
\( a\,^x \) | \( a\,^x \cdot \ln a \) |
\( C\cdot a\,^{k\,x} \) | \( C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \) |
\( a\cdot f(x) \) | \( a\cdot f\,'(x) \) |
\( f(x) + g(x)\, \) | \( f\,'(x) + g\,'(x) \) |
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna.
Denna tabell kommer att kompletteras i Matte 4-kursen då vi kommer att lära oss ytterligare deriveringsregler: regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. Produkt- resp. Kvotregeln samt deriveringsregeln för sammansatta funktioner, den s.k. Kedjeregeln.
Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.