Skillnad mellan versioner av "3.2 Lokala maxima och minima"

Versionen från 18 december 2016 kl. 00.10

Genomgång

Lektion 23 Lokala maxima och minima I

Lektion 24 Lokala maxima och minima II

Lokala maxima och minima är punkter som har största resp. minsta funktionsvärden i sin närmaste omgivning. Se även Begreppsförklaringar.

Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima och minima. Globala maxima och minima behandlas senare.

För att avgöra vilka bland derivatans nollställen är funktionens maxima och vilka är minima, undersöker man derivatans teckenbyte i nollställena.

En metod för att göra denna undersökning är teckenstudie, en annan är andraderivatan som tas upp längre fram.

Regler om max/min med teckenstudie

\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, + \, \) till \( \, - \, \) i \( \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett maximum i \( \, x = a \, \).

\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, - \, \) till \( \, + \, \) i \( \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett minimum i \( \, x = a \, \).

\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter inte tecken i \( \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \) har en terasspunkt i \( \, x = a \), se nästa avsnitt.

Teckenstudie:

\( \;\; \)

Teckentabell från förra avsnitt \(-\) utvidgad:

\(x\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
\( f\,'(x) \)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\( \,f(x) \)	↘	Min	↗	Max	↘

Både teckentabellen och graferna visar:

\( f\,'(2) = 0 \) och \( f\,'(x) \, \) byter tecken i \( \, x = 2 \, \) från

\( - \, \) (under \( x\)-axeln) till \( \, + \, \) (över \( x\)-axeln). Av regeln

ovan följer: \( f(x) \) har ett minimum i \( x = 2 \).

Grafiskt: \( f(x) \) avtar till vänster om och växer till hö-

ger om \( x = 2 \). Därför är \( x = 2 \) ett minimum.

\( \quad \)

\( f\,'(4) = 0 \, \) och funktionens graf visar att \( \, f(x) \, \) växer till vänster om och avtar till höger om \( \, x = 4 \). Därför måste \( \, x = 4 \, \) vara ett maximum.

Både teckentabellen och derivatans graf visar att \( \, f\,'(x) \, \) byter tecken i \( \, x = 4 \, \) från \( \, + \, \) (över \( x\)-axeln) till \( \, - \, \) (under \( x\)-axeln). Regeln: \( f(x) \) har ett maximum i \( \, x = 4 \).

OBS! \( \quad \) Teckenstudien måste genomföras i en tillräckligt liten omgivning av \( \, {\color{Red} a} \), så nära \( \, a \, \) som möjligt.

Hur stor exakt en tillräckligt liten omgivning av\( \, a \,\) är, beror på den aktuella funktionen \( \, f(x)\):s egenskaper.

Vilka felaktiga slutsatser som kan dras av en alltför grov teckenstudie kan läsas i lösningen till 3.4 övning 6a

Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt med teckenstudie

Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen

\[ y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \]

där \( y \;\, = \) temperaturen i grader Celsius och

\( x \;\, = \) tiden i timmar efter midnatt

Funktionen \(\, f(x)\):s definitionsmängd: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \)

Bestäm nattens kallaste tidpunkt med en teckenstudie.

Lösning med teckenstudie:

Reglerna om max/min med teckenstudie kräver derivatans nollställen. Därför sätter vi derivatan till \( \, 0 \, \) och beräknar \( \, x \):

\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 0,48\,x - 2,4 & = & 0 \\ & & 0,48\,x & = & 2,4 \\ & & x & = & \displaystyle {2,4 \over 0,48} \quad = \quad 5 \end{array}\]

För att avgöra om \( \, x = 5 \, \) är maximi- eller minimipunkt genomförs en teckenstudie:

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = 4,9 \, \) och \( \, x = 5,1 \, \) och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ f' (4,9) = 0,48\cdot 4,9 - 2,4 = - 0,048 < 0 \]

\[ f' (5,1) = 0,48\cdot 5,1 - 2,4 = 0,048 > 0 \]

\(x\)	\(4,9\)	\(5\)	\(5,1\)
\( f\,'(x) \)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\( \,f(x) \)	↘	Min	↗

Dessa resultat är infogade i teckentabellen till höger och visar att \( \, f(x)\, \) antar ett minimum i \( \; \boxed{x_{min} \, = \, 5} \; \),

därför att \( \, f\,'(5) = 0 \) och derivatan byter tecken från \(-\) till \( + \) kring \( \, 5 -\) allt enligt reglerna ovan.

Därför inträffar nattens kallaste tidpunkt kl \( \, 5 \).

En alternativ metod för att skilja mellan funktionens maxima och minima är andraderivatan.

Till skillnad från teckenstudie som klarar sig med första derivatan, måste vi derivera här två gånger.

En fördel med metoden med andraderivatan är dock att den kräver mindre beräkning.

Andraderivata

Med andraderivata menas derivatans derivata som betecknas med \( \, f\,''(x) \, \) och läses \( \; {\rm "}\!f \; {\rm biss\;av\; } x\,{\rm"} \, \).

Man får andraderivatan genom att derivera derivatans funktion en gång till enligt deriveringsreglerna.

Det är derivatans nollställen och andraderivatans tecken i derivatans nollställen som avgör om en funktion har maxima eller minima:

Regler om max/min med andraderivatan

\( f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 \; \) och \( \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har ett maximum i \( \; x = a \; \).

\( f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 \; \) och \( \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har ett minimum i \( \; x = a \; \).

Om \( \, f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \, \) kan endast en korrekt teckenstudie eller \( \, f\,'''(a) \, \) avgöra saken.

\( {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \; \) har varken maximum eller minimum i \( \; x = a \).

\( \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\quad\;\, \) Ingen utsaga kan göras om hur \( \, f(x) \, \) beter sig i \( \, x = a \, \) endast pga \( \, f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \).

\( \qquad\quad\; \) Med andra ord: \( \, f(x) \, \) kan ha ett maximum eller ett minimum i \( \, x = a \), även om \( \, f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \), se 3.4 övning 6.

Förklaring:

Bilden till vänster visar att funktionen har ett minimum i \( \, x = 2 \, \) och ett maximum i \( \, x = 4 \).

Bilden i mitten visar att derivatan har nollställen i dessa punkter. I \( \, x = 2 \, \) går derivatan från \( \, - \, \) (under \( x\)-axeln) till \( \, + \, \) (över \( x\)-axeln), dvs derivatan är växande. I \( \, x = 4 \, \) går derivatan från \( \, + \, \) (över \( x\)-axeln) till \( \, - \, \) (uner \( x\)-axeln), dvs derivatan är avtagande.

Bilden till höger visar att andraderivatan i \( \, x = 2 \), där derivatan växer, är positiv, vilket enligt regeln ovan innebär ett minimum för \( \, f(x) \). Detta bekräftas av funktionens graf till vänster. I \( \, x = 4 \), där derivatan avtar, är andraderivatan negativ, enligt regeln ett maximum. Även detta ser man i funktionens graf.

För att demonstrera regeln ovan tar vi samma Exempel som behandlades tidigare, bibehåller frågeställningen, men byter lösningsmetod:

Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt med andraderivatan

Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen

\[ y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \]

där \( y \;\, = \) temperaturen i grader Celsius och

\( x \;\, = \) tiden i timmar efter midnatt

Funktionen \(\, f(x)\):s definitionsmängd: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \)

a) Ställ upp första- och andraderivatan.

Rita graferna till \( \,f(x) \), \( \,f\,'(x) \) och \( \,f\,''(x) \) i separata koordinatsystem.

b) Bestäm nattens kallaste tidpunkt med andraderivatan.

c) Bestäm nattens lägsta temperatur.

Lösning med andraderivatan:

a) \( f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \qquad\qquad\qquad\quad\;\; f\,'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; f\,''(x) \, = \, 0,48 \)

b) Reglerna om max/min med andraderivatan kräver derivatans nollställe. Vi tar över \( \, x = 5 \, \) från Lösning med teckenstudie och bekräftar:

\[ f(x) = 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \]

\[ f'(x) = 0,48\,x - 2,4 \]

\[ f' (5) = 0,48\cdot 5 - 2,4 = 0 \]

Derivatan blir \( \, 0 \, \) för \( \, x = 5 \). För att avgöra om \( \, x = 5 \, \) är ett maximum eller ett minimum kräver regeln andraderivatans tecken.

Därför sätter vi \( \, x = 5 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ f\,''(x) \, = \, 0,48 \]

\[ f\,''(5) = 0,48 \,>\, 0 \]

Andraderivatan är positiv (konstant) för alla \( x \, \) och därmed även för \( x = 5 \, \). Därav följer att \( \, f(x) \, \) har ett minimum i \( \; \boxed{x_{min} \, = \, 5} \; \).

Alltså är nattens kallaste tidpunkt kl \( \, 5 \, \).

c) Temperaturen vid kl \( \, 5 \, \) är:

\[ f(x_{min}) = f(5) = 0,24 \cdot 5^2 - 2,4 \cdot 5 + 7 = 1 \]

Alltså är nattens lägsta temperatur \( \, 1 \, \) grad Celsius.

Sammanfattning:

Gemensamt för alla maxima och minima är att derivatan där är \( \, 0 \), därför att tangenten har lutningen \( \, 0 \, \). Följaktligen:

Genom att bilda derivatan, sätta den till \( \, 0 \, \) och beräkna \( \, x \), hittar vi maximi- och minimipunkternas \( \, x\)-koordinater.

Sedan gäller det att skilja mellan maximi- och minimipunkter antingen med andraderivatan eller teckenstudie.

Exempel 2 Maximal företagsvinst

Vi återgår till Exempel 3 i förra avsnitt, men byter frågeställning:

Efter statistiska observationer har man kommit fram till att ett företags vinst kan beräknas enligt funktionen:

\[ V(t) \; = \; -3\,t^3\,+\,27\,t^2\,-\,72\,t\,+\,60 \]

där \( V \; = \) företagets vinst i \( 1\,000 \) kr och

\( t \;\, = \) tiden i antalet år efter årsskiftet 2009/2010 \(. \qquad \) Definitionsområde: \( \; 1 \leq t \leq 5 \)

a) Ställ upp första- och andraderivatan. Rita graferna till \( \,V(t) \), \( \,V\,'(t) \) och \( \,V\,''(t) \) i separata koordinatsystem.

b) När har företaget maximal vinst? Denna uppgift ska lösas både med andraderivatan och teckentabellen.

c) Hur stor är företagets maximala vinst?

Frågorna b) och c) ska besvaras algebraiskt.

Lösning:

a)

b) Derivatan är en 2:a gradsfunktion och har två reella nollställen. För att få reda på dem sätter vi derivatan till \( \, 0 \):

\[\begin{array}{rcrcl} V'(t) & = & -9\,t^2 + 54\,t - 72 & = & 0 \\ & & t^2 - 6 \,t + 8 & = & 0 \end{array}\]

2:a gradsekvationen kan enkelt och snabbt lösas med Vieta:

\[ \begin{array}{rcl} t_1 \cdot t_2 & = & 8 \\ t_1 + t_2 & = & -(-6) = 6 \\ &\Downarrow& \\ t_1 & = & 2 \\ t_2 & = & 4 \end{array}\]

Dvs \( V'(2) = V'(4) = 0\, \) vilket innebär:

Tangenterna till kurvan \( V(t)\, \) i punkterna \( t_1 = 2 \, \) och \( t_2 = 4 \, \) har lutningen \( 0\, \) dvs är horisontella.

Horisontella tangenter kan innebära att kurvan har maximum eller minimum i dessa punkter.

För att skilja mellan max och min använder vi två metoder: andraderivatan och teckentabellen \(-\) en i taget:

b) forts. med andraderivatan:

Reglerna om max/min med andraderivatan tillämpas på derivatans båda nollställen.

Nollställe 1: \( \; t_1 = 2 \quad \; \)

Vi sätter in \( t_1 = 2 \, \) i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ V\,''(t) \, = \, -18\,t + 54 \]

\[ V\,''(2) \, = \, -18\cdot 2 + 54 = 18 > 0 \]

Andraderivatan är positiv för \( t_1 = 2 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett minimum i \( t_1 = 2 \, \).

Nollställe 2: \( \; t_2 = 4 \quad \; \)

Vi sätter in \( t_2 = 4 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ V\,''(4) \, = \, -18\cdot 4 + 54 = -18 < 0 \]

Andraderivatan är negativ för \( t_2 = 4 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett maximum i \( t_2 = 4 \, \).

Alltså har företaget sin största vinst efter \( t_2 = 4 \, \) år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.

b) forts. med teckenstudie:

Reglerna om max/min med teckenstudie tittar på derivatans teckenbyte i en nära omgivning av derivatans nollställen.

Vi tillämpar regeln enskilt på vart och ett nollställe.

Nollställe 1: \( \; t_1 = 2 \)

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, t = 1,9 \) och \( \, t = 2,1 \) på t-axeln och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ V'(t) = -9\,t^2 + 54\,t - 72 \]

\[ V' (1,9) = -9\cdot 1,9^2 + 54\cdot 1,9 - 72 = -1,89 < 0 \]

\[ V' (2,1) = -9\cdot 2,1^2 + 54\cdot 2,1 - 72 = 1,71 > 0 \]

Nollställe 2: \( \; t_2 = 4 \)

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, t = 3,9 \) och \( \, t = 4,1 \) på t-axeln nära \( t_2 \) och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ V' (3,9) = -9\cdot 3,9^2 + 54\cdot 3,9 - 72 = 1,71 > 0 \]

\[ V' (4,1) = -9\cdot 4,1^2 + 54\cdot 4,1 - 72 = -1,89 < 0 \]

\(t\)	\(1,9\)	\(2\)	\(2,1\)	\(3,9\)	\(4\)	\(4,1\)
\( V\,'(t) \)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\( \,V(t) \)	↘	Min	↗	↗	Max	↘

Resultaten från båda nollställena skrivs in i teckentabellen ovan till höger som slutligen kan förenklas till följande teckentabell:

\(t\)		\(2\)		\(4\)
\( V\,'(t) \)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\( \,V(t) \)	↘	Min	↗	Max	↘

Slutsatser:

\( V(t)\, \) har ett minimum i \( \, t_1 = 2 \), därför att \( V\,'(2) = 0 \) och \( V\,'(t) \) byter tecken från \(-\) till \( + \) kring \( \, 2 \).

\( V(t)\, \) har ett maximum i \( \, t_2 = 4 \), därför att \( V\,'(4) = 0 \) och \( V\,'(t) \) byter tecken från \(+\) till \( - \) kring \( \, 4 \).

Resultatet är förstås det samma som i b) forts. med andraderivatan:

Företaget har sin största vinst efter \( \, t_2 \, = \, t_{max} \, = \, 4 \, \) år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.

c) För att få företagets maximala vinst sätter vi in \( t_{max} = 4 \, \) i vinstfunktionen:

\[ V(t) = -3\,t^3 + 27\,t^2 - 72\,t + 60 \]

\[ V(t_{max}) = V(4) = -3\cdot 4^3 + 27\cdot 4^2 - 72\cdot 4 + 60 = 12 \]

Alltså är företagets maximala vinst \( 12\,000 \) kr som antas vid årsskiftet 2013/2014.

Begreppsförklaringar

Lokala maxima och minima är punkter (•) som har största resp. minsta \( \, y\)-värden i

sin närmaste omgivning.

Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima/minima.

Båda tillsammans heter extremvärden. På bilden har vi två extremvärden: \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \, \).

Extremvärdenas \( \, x\)-koordinater heter extrempunkter, på bilden: \( \, 2 \, \) och \( \, 4 \, \).

Minimipunktens koordinater är: \( \, (2, 10) \, \). Maximipunktens koordinater är: \( \, (4, 22) \, \).

Med en extrempunkt menas alltid \( \; {\color{Red} x}\)-koordinaten, t.ex. \( \; 2 \; \) och \( \;\; 4 \).

Med ett extremvärde menas alltid \( {\color{Red} y}\)-koordinaten, t.ex. \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \).

Att vara maximi- eller minimipunkt kallas för extrempunktens karaktär eller typ.

I hela detta kapitel förutsätts att varje funktion \( \, y = f(x) \, \) är kontinuerlig i alla punkter av sin definitionsmängd, se definitionen.

Påminnelse: En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.

OBS! Det finns punkter där derivatan är \( \, 0 \), utan att dessa punkter är extrempunkter. De behandlas i nästa avsnitt.