Skillnad mellan versioner av "Potenser"

Ett uttryck av formen \( a^x\, \) läses "a upphöjt till x" och kallas potens. \( a\, \) heter basen och \( x\, \) exponenten.

Om exponenten \( x\, \) är ett positivt heltal och basen \( a\, \) ett tal \( \neq 0 \) kan potensen \( a^x\, \) definieras som en förkortning för upprepad multiplikation av \( a\, \) med sig själv \( x\, \) gånger:

\( a^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;\times} \)

Detta är ett exempel på en allmän lag, den första potenslagen. Det finns flera sådana:

Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( x\, \) och \( y\, \) vilka rationella tal som helst och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)):

Potenslagarna gäller även för exponenter som är negativa eller rationella (bråktal), även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.

Påstående (Första potenslagen):

\( a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:

\( a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} {x+y}}\;\times} \; = \; a^{{\color{Red} {x+y}}} \)

Påstående (Lagen om nollte potens):

\( a^0 \; = \; 1 \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:

\( a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)

Potenser med negativa exponenter

Påstående (Lagen om negativ exponent):

\( a^{-x} = \displaystyle{1 \over a^x} \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda den ovan bevisade lagen för nollte potensen (baklänges) samt lagen om division av potenser med samma bas:

\( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)

Vi får påståendet, fast baklänges.

Att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter med nollte potensen däremellan illustrerar följande exempel:

Potenser med rationella exponenter är bara ett annat sätt att skriva (högre) rötter.

Påstående (\( n\)-te roten):

\( a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \; \) \( , \qquad n\neq 0 \)

Bevisidé:

Vi tar specialfallet \( n=3 \), multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Definitionen för 3:e roten ur \( a \) är:

\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; \) Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger \( a \).

Men enligt ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger \( a \), just \( a \) \(^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur \( a \):

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \)

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \):

Påstående (Rationell exponent):

\( a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)

Anta i fortsättningen att \( x\, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).

Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).

I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Potensekvationer löses genom rotdragning. För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Alternativt (med bråktal som exponent):

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Det alternativa sättet att lösa ekvationen \( x^3 = 8\, \) visar att rötter även kan uppfattas och skrivas som potenser med rationella exponenter, se avsnittet ovan.