Skillnad mellan versioner av "3.5 Lösning 9c"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 25: Rad 25:
 
<math> h \, = \, \displaystyle {A \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {A \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi}} \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \over 2\,\pi\cdot {A \over 6\,\pi} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, </math>
 
<math> h \, = \, \displaystyle {A \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {A \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi}} \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \over 2\,\pi\cdot {A \over 6\,\pi} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, </math>
  
<math> \, = \, \displaystyle {A \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \over {A \over 3} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, 3 {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}}  \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, 2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} </math>
+
<math> \, = \, \displaystyle {A \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \over {A \over 3} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, 3 \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}}  \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, 2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} </math>
  
Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \;\displaystyle r = \sqrt{A \over 6\,\pi} \, {\rm cm} \; </math> och höjden <math> \; h = 2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \, {\rm cm} \; </math>.
+
Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \; \displaystyle r = \sqrt{A \over 6\,\pi} \, {\rm cm} \; </math> och höjden <math> \; \displaystyle h = 2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \, {\rm cm} \; </math>.

Versionen från 6 februari 2015 kl. 11.32

Målfunktionen maximeras:

\[ V(r) \, = \, {A \over 2} \cdot r \, - \, \pi\,r^3 \]
\[ V'(r) \, = \, {A \over 2} \, - \, 3\,\pi\,r^2 \]
\[ V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & {A \over 2} \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ & & {A \over 2} & = & 3\,\pi\,r^2 \\ & & {A \over 6\,\pi} & = & r^2 \\ & & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{A \over 6\,\pi} \end{array}\]

\( \, r_2 = \displaystyle -\sqrt{A \over 6\,\pi} \, \) förkastas, för radien kan inte bli negativ: \( \, r \, > \, 0 \, \) .

Andraderivatans tecken för \( \, r = \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, \):

\( V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, r = \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, \).

För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in \( \, r = \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, \) i bivillkoret från a):

\( h \, = \, \displaystyle {A \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {A \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi}} \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \over 2\,\pi\cdot {A \over 6\,\pi} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, \)

\( \, = \, \displaystyle {A \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \over {A \over 3} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, 3 \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, 2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \)

Cylinderns volym blir maximal för radien \( \; \displaystyle r = \sqrt{A \over 6\,\pi} \, {\rm cm} \; \) och höjden \( \; \displaystyle h = 2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \, {\rm cm} \; \).