Skillnad mellan versioner av "3.5 Lösning 7c"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 9: | Rad 9: | ||
Derivatans nollställen: | Derivatans nollställen: | ||
| − | <math>\begin{array}{rcrcl} | + | <math>\begin{array}{rcrcl} I'(x) & = & -160\,x + 4\,000 & = & 0 \\ |
| − | + | & & 4\,000 & = & 160\,x \\ | |
| − | + | & & {4\,000 \over 160} & = & x \\ | |
| − | + | & & x & = & 25 | |
| − | + | \end{array}</math> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
För <math> \, x_1 = 5 \, </math> blir volymen <math> \, V(5) = 5 \cdot (10 \, - \, 2 \cdot 5)^2 = 0 \, </math> och därmed minimal. | För <math> \, x_1 = 5 \, </math> blir volymen <math> \, V(5) = 5 \cdot (10 \, - \, 2 \cdot 5)^2 = 0 \, </math> och därmed minimal. | ||
Versionen från 3 februari 2015 kl. 12.10
Vi deriverar målfunktionen\[ I(x) = (20\,000 - 80\,x) \cdot (200 + x) = 4\,000\,000 + 20\,000\,x - 16\,000\,x - 80\,x^2 = -80\,x^2 + 4\,000\,x + 4\,000\,000 \]
\( I'(x) = -160\,x + 4\,000 \)
\( I''(x) \, = -160 \)
Derivatans nollställen\[\begin{array}{rcrcl} I'(x) & = & -160\,x + 4\,000 & = & 0 \\ & & 4\,000 & = & 160\,x \\ & & {4\,000 \over 160} & = & x \\ & & x & = & 25 \end{array}\]
För \( \, x_1 = 5 \, \) blir volymen \( \, V(5) = 5 \cdot (10 \, - \, 2 \cdot 5)^2 = 0 \, \) och därmed minimal.
För \( \, \displaystyle x_2 = {5 \over 3} \, \) ger andraderivatans tecken:
\( \displaystyle V''\left({5 \over 3}\right) = 24 \cdot {5 \over 3} \, - \, 80 = -\,40 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(x) \, \) har ett lokalt maximum för \( \displaystyle \, x = {5 \over 3} \, \).
För \( \, \displaystyle x = {5 \over 3} = 1,67 \, \) blir lådans volym \( \, V(x) \, \) maximal.
