Skillnad mellan versioner av "3.5 Lösning 4c"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 25: | Rad 25: | ||
::<math> y = 6\,x - 6\,x^2 </math> | ::<math> y = 6\,x - 6\,x^2 </math> | ||
| − | ::<math> y = 6 \cdot {2 \over 3} - 6 \cdot \left({2 \over 3}\right)^2 \, = \, 4 \, - 6 \cdot {4 \over 9} \, = \, 4 \, - {8 \over 3} </math> | + | ::<math> y = 6 \cdot {2 \over 3} - 6 \cdot \left({2 \over 3}\right)^2 \, = \, 4 \, - 6 \cdot {4 \over 9} \, = \, 4 \, - {8 \over 3} \, = \ {4 \over 3} </math> |
| − | För <math> \, P( | + | För <math> \, P\, \left({2 \over 3},\,{4 \over 3}\right) \, </math> blir triangelns area maximal. |
Versionen från 1 februari 2015 kl. 16.28
Vi deriverar målfunktionen:
- \[ A\,(x) \, = \, 3\,x^2 \, - \, 3\,x^3 \]
- \[ A'(x) \, = \, 6\,x \, - \, 9\,x^2 \]
- \[ A''(x) \, = \, 6 \, - \, 18\,x \]
Derivatans nollställe:
- \[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & 6\,x \, - \, 9\,x^2 & = & 0 \\ & & 3\,x \cdot (2 \, - \, 3\,x) & = & 0 \\ & & x_1 & = & 0 \\ & & 2 \, - \, 3\,x & = & 0 \\ & & 2 & = & 3\,x \\ & & x_2 & = & {2 \over 3} \, = \, 0,67 \end{array}\]
Andraderivatans tecken för \( \, x = 0,67 \, \):
\( A''(0,67) = -18\,x \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 0,67 \, \).
\( x = 0,67 \, \) är \( P\):s \( x\)-koordinat. För att få \( y\)-koordinaten sätter vi in \( \, x = \displaystyle {2 \over 3} \, = \, 0,67 \, \) i den parabelns ekvation:
- \[ y = 6\,x - 6\,x^2 \]
- \[ y = 6 \cdot {2 \over 3} - 6 \cdot \left({2 \over 3}\right)^2 \, = \, 4 \, - 6 \cdot {4 \over 9} \, = \, 4 \, - {8 \over 3} \, = \ {4 \over 3} \]
För \( \, P\, \left({2 \over 3},\,{4 \over 3}\right) \, \) blir triangelns area maximal.
