Skillnad mellan versioner av "3.5 Extremvärdesproblem"

Versionen från 30 januari 2015 kl. 13.27

Lektion 33 Extremvärdesproblem I

Lektion 34 Extremvärdesproblem II

Exempel 1 Rektangel i parabel

En rektangel är inbunden i en parabel vars ekvation är given: \[ y \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 \qquad {\rm med} \qquad y \, \geq \, 0 \] I figuren rör sig punkten \( \, (x,\,y) \, \) på parabeln. Placera den så så att rektangelns area \( \, A \, \) blir så stor som möjligt. a)   Ställ upp rektangelns area som en funktion av \( \, x \, \) dvs \( \, A(x) \, \). b)   Bestäm \( \, x \, \) så att \( \, A(x) \, \) antar ett maximum. c)   Beräkna rektangelns maximala area. Lösning:

a)   Rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, \, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} \)

Men \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \) är en funktion av två variabler som vi inte kan hantera. För att skriva om den till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \), måste \( \, {\color{Red} y} \, \) elimineras.

Det gör vi genom att utnyttja sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) som är givet av parabelns ekvation. Rektangelns "rörliga" hörn måste alltid ligga på parabeln. Därför måste dess koordinater \( \, (x,\,{\color{Red} y}) \, \) uppfylla parabelns ekvation:

\( \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 \)

Inom optimeringslära \(-\) den matematiska disciplin som sysslar med optimering (maximering och minimering) av funktioner \(-\) kallas sambandet ovan för problemets bivillkor (eng. constraint).

Vårt bivillkor är parabelns ekvation som sätts in i \( \; A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\). På så sätt får vi ett uttryck för rektangelns area som endast beror av \( \, x \):

\[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]

I optimeringslära kallas den erhållna funktionen av en variabel för problemets målfunktion (eng. objective function):

\( A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \)

         med definitionsmängden: \( \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} \)

Definitionsintervallets vänstra ända är motiverad av att arean och därmed \( \, x \, \) inte kan bli negativ. Den andra ändan ges av parabelns positiva nollställe (se figuren ovan), dvs av lösningen \( \, x = \sqrt{10} \, \) till ekvationen \( \, \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 \, \).

Ett problems målfunktion är alltid den som ska optimeras dvs maximeras eller minimeras. I vårt exempel gäller det att maximera målfunktionen ovan.

Extremvärdesproblem består i regel av ett eller flera bivillkor och en målfunktion, där bivillkoren används för att reducera målfunktionen till en funktion av endast en variabel.

c)   Vi deriverar målfunktionen:

\[ A(x) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]

\[ A'(x) \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 10 \]

\[ A''(x) \, = \, -\,6\,x \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0 \\ & & 10 & = & 3\,x^2 \\ & & {10 \over 3} & = & x^2 \\ & & x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\ & & x_1 & = & 1,83 \\ & & x_2 & = & -1,83 \end{array}\]

Pga målfunktionens definitionsmängd förkastas \( \, x_2 = -1,83 \, \).

Andraderivatans tecken för \( \, x = 1,83 \, \):

\( A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 1,83 \, \).

För \( \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum.

d)   Eftersom rektangelns area blir maximal för \( \, x = 1,83 \, \) sätter vi in \( \, x = 1,83 \, \) i målfunktionen för att få största arean:

\[ A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \]

\[ A(1,83) = -\,1,83^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 \]

     Rektangelns maximala area är \( \, 12,17 \, \).

Exempel 2 Glasskiva (rektangel i triangel)

En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm: Ur skivan ska en rektangulär glasplatta med maximal area skäras ut. a)   Formulera problemets bivillkor. b)   Ställ upp problemets målfunktion. Ange dess definitionsmängd. c)   Bestäm \( \, x \, \) så att glasplattans area \( \, A(x) \, \) maximeras. d)   Beräkna glasplattans maximala area.

Lösning:

a)   Vi inför beteckningen \( \; {\color{Red} y} \; \) för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} \)

För att skriva om funktionen ovan till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \), måste \( \, {\color{Red} y} \, \) uttryckas med \( \, x \, \), så att \( \, {\color{Red} y} \, \) kan elimineras. Sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) bestäms av rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa och måste alltid ligga på den.

Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, så här: Triangelns hypotenusa blir då en del av en rät linje. Punkten \( \, (x, y) \, \) rör sig på denna räta linje vars ekvation är: \[ {\color{Red} y} \, = \, k\,x \, + \, m \] Lutningen \( \, k \, = \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3} \) Skärningspunkten med \(\,y\)-axeln: \( \quad m \, = \, 20 \) Den räta linjens ekvation blir då: \( \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 \)

Detta samband mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \,\) är problemets bivillkor.

b)   Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan sätts in i \( \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\) och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av \( \, x \):

\[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]

c)   Resten av uppgiften kan lösas med de metoder vi lärt oss i de förra avsnitten.

\[ A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]

\[ A'(x) \, = \, -\,{4 \over 3}\,x \, + \, 20 \]

\[ A''(x) \, = \, -\,{4 \over 3} \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\ & & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\ & & {20 \cdot 3 \over 4} & = & x \\ & & x & = & 15 \end{array}\]

Andraderivatans tecken för \( \, x = 15 \, \):

\( A''(15) = \displaystyle -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 15 \, \).

För \( \, x = 15 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen ett maximum, dvs rektangelns area blir maximal.

d)   Eftersom rektangeln får sin största area för \( \, x = 15 \, \) sätter vi in \( \, x = 15 \, \) i målfunktionen för att få största arean:

\[ A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]

\[ A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 \]

     Glasplattans största area blir \( \, 150 \, {\rm cm}^2 \, \).

Exempel 3 Konservburk

Lösning:

a)   Begränsningsarean \( \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \) \[\begin{array}{rcl} 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 & = & 500 \\ 2\,\pi\,r\,h & = & 500 \, - 2\,\pi\,r^2 \\ h & = & {500 - 2\,\pi\,r^2 \over 2\,\pi\,r} \\ h & = & {500 \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\,r} \, - \, r \end{array}\] Därmed är bivillkoret: \( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \)

b)   Cylinderns volym \( \, V \, \) är basytan \( \times \) höjden dvs: \( \qquad\qquad\quad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, \)

För att skriva om denna funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel, sätter vi in bivillkoret från a) i \( \, V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, \) och eliminerar \( \, {\color{Red} h} \, \):

\[ V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{250 \over \pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \cdot r \, - \, \pi\,r^3 \]

c)   Målfunktionen maximeras:

\[ V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 \]

\[ V'(r) \, = \, 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 \]

\[ V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ & & 250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\ & & {250 \over 3\,\pi} & = & r^2 \\ & & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\ & & r & = & 5,15 \end{array}\]

\( \, r_2 = -5,15 \, \) förkastas, för radien kan inte bli negativ: \( \, r \, > \, 0 \, \) .

Andraderivatans tecken för \( \, r = 5,15 \, \):

\( V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, r = 5,15 \, \).

För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in \( \, r = 5,15 \, \) i bivillkoret från a):

\( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15 \, = \, 10,30 \)

Cylinderns volym blir maximal för radien \( \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; \) och höjden \( \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; \).

d)   Resultaten från c) sätter vi in i målfunktionen för att få cylinderns största volym:

\[ V(5,15) \, = \, \pi \, \cdot 5,15^2 \, \cdot 10,30 \, = \, 858,23 \]

     Konservburkens maximala volym blir \( \; 858,23 \, {\rm cm}^3 \; \).

e)   Slutsats:

Följande samband råder mellan cylinderns radie \( \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; \) och dess höjd \( \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; \) när volymen till en cylinder med \( \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \) begränsningsarea, maximeras:

\( 2 \; r \; = \; h \)

Återstår frågan om följande samband även råder generellt mellan radien \( \; r \; \) och höjden \( \; h \; \) för alla konservburkar med maximal volym:

Diametern   =   Höjden

Denna fråga är föremål för undersökning i övning 11. En annan intressant frågeställning är:

Råder samma samband \( \; 2 \, r \, = \, h \; \) om man utgår från en konservburk med fast given volym och istället minimerar materialåtgången för konservburken?

En närmare undersökning kommer att visa att detta är fallet.

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.