Skillnad mellan versioner av "3.5 Extremvärdesproblem"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 153: | Rad 153: | ||
Den räta linjens ekvation blir då<span style="color:black">:</span> | Den räta linjens ekvation blir då<span style="color:black">:</span> | ||
| − | <div style="border:1px solid black; | + | |
| + | ::<div style="border:1px solid black; | ||
display:inline-block !important; | display:inline-block !important; | ||
margin-left: 50px !important; | margin-left: 50px !important; | ||
padding:10px 10px 10px 10px; | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 </math></strong></div> | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 </math></strong></div> | ||
| + | |||
Denna ekvation är det önskade sambandet mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \,</math>. | Denna ekvation är det önskade sambandet mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \,</math>. | ||
</td> | </td> | ||
| Rad 170: | Rad 172: | ||
::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math> | ::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math> | ||
| − | Målfunktion blir då<span style="color:black">:</span> | + | Målfunktion blir då<span style="color:black">:</span> <div style="border:1px solid black; |
| − | + | ||
| − | <div style="border:1px solid black; | + | |
display:inline-block !important; | display:inline-block !important; | ||
margin-left: 50px !important; | margin-left: 50px !important; | ||
Versionen från 30 januari 2015 kl. 12.00
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar |
Lektion 33 Extremvärdesproblem I
Lektion 34 Extremvärdesproblem II
Innehåll
Exempel 1 Rektangel i parabel
En rektangel är inbunden i en parabel vars ekvation är given:
I figuren rör sig punkten \( \, (x,\,y) \, \) på parabeln. Placera den så så att rektangelns area \( \, A \, \) blir så stor som möjligt. a) Ställ upp rektangelns area som en funktion av \( \, x \, \) dvs \( \, A(x) \, \). b) Bestäm \( \, x \, \) så att \( \, A(x) \, \) antar ett maximum. c) Beräkna rektangelns maximala area.
|
 |
a) Rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, \, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} \)
Men \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \) är en funktion av två variabler som vi inte kan hantera. För att skriva om den till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \), måste \( \, {\color{Red} y} \, \) elimineras.
Det gör vi genom att utnyttja sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) som är givet av parabelns ekvation. Rektangelns "rörliga" hörn måste alltid ligga på parabeln. Därför måste dess koordinater \( \, (x,\,{\color{Red} y}) \, \) uppfylla parabelns ekvation:
- \( \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 \)
Inom optimeringslära \(-\) den matematiska disciplin som sysslar med optimering (maximering och minimering) av funktioner \(-\) kallas sambandet ovan för problemets bivillkor (eng. constraint).
Bivillkor bestäms av problemets geometriska eller andra omständigheter som är givna och oföränderliga. Därför kallas de även för tvångsvillkor.
Vårt bivillkor är parabelns ekvation som sätts in i \( \; A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\). På så sätt får vi ett uttryck för rektangelns area som endast beror av \( \, x \):
- \[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]
I optimeringslära kallas den erhållna funktionen av en variabel för problemets målfunktion (eng. objective function):
- \( A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \)med definitionsmängden: \( \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} \)
Definitionsintervallets vänstra ända är motiverad av att arean och därmed \( \, x \, \) inte kan bli negativ. Den andra ändan ges av parabelns positiva nollställe (se figuren ovan), dvs av lösningen \( \, x = \sqrt{10} \, \) till ekvationen \( \, \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 \, \).
Ett problems målfunktion är alltid den som ska optimeras dvs maximeras eller minimeras. I vårt exempel gäller det att maximera målfunktionen ovan.
Extremvärdesproblem består i regel av ett eller flera bivillkor och en målfunktion, där bivillkoren används för att reducera målfunktionen till en funktion av endast en variabel.
c) Vi deriverar målfunktionen:
- \[ A(x) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]
- \[ A'(x) \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 10 \]
- \[ A''(x) \, = \, -\,6\,x \]
Derivatans nollställe:
- \[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0 \\ & & 10 & = & 3\,x^2 \\ & & {10 \over 3} & = & x^2 \\ & & x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\ & & x_1 & = & 1,83 \\ & & x_2 & = & -1,83 \end{array}\]
Pga målfunktionens definitionsmängd förkastas \( \, x_2 = -1,83 \, \).
Andraderivatans tecken för \( \, x = 1,83 \, \):
\( A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 1,83 \, \).
För \( \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum.
d) Eftersom rektangelns area blir maximal för \( \, x = 1,83 \, \) sätter vi in \( \, x = 1,83 \, \) i målfunktionen för att få största arean:
- \[ A(1,83) = -\,1,83^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 \]
Rektangelns maximala area är \( \, 12,17 \, \).
Exempel 2 Glasskiva (rektangel i triangel)
| En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm:
Ur skivan ska en rektangulär glasplatta med maximal area skäras ut. a) Formulera problemets bivillkor. b) Ställ upp problemets målfunktion. Ange dess definitionsmängd. c) Bestäm \( \, x \, \) så att glasplattans area \( \, A(x) \, \) maximeras. d) Beräkna glasplattans maximala area. |
 |
Lösning:
a) Vi inför beteckningen \( \; {\color{Red} y} \; \) för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} \)
För att skriva om funktionen ovan till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \), måste \( \, {\color{Red} y} \, \) uttryckas med \( \, x \, \), så att \( \, {\color{Red} y} \, \) kan elimineras. Sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) bestäms av rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa och måste alltid ligga på den.
| Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, så här:
Triangelns hypotenusa blir då en del av en rät linje. Punkten \( \, (x, y) \, \) rör sig på denna räta linje vars ekvation är:
Lutningen \( \, k \, = \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3} \) Skärningspunkten med \(\,y\)-axeln: \( \quad m \, = \, 20 \) Den räta linjens ekvation blir då:
Denna ekvation är det önskade sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \,\). |
 |
b) Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan \(-\) sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} -\) sätts in i \( \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\) och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av \( \, x \):
- \[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]
c) Resten av uppgiften kan lösas med de metoder vi lärt oss i de förra avsnitten.
- \[ A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]
- \[ A'(x) \, = \, -\,{4 \over 3}\,x \, + \, 20 \]
- \[ A''(x) \, = \, -\,{4 \over 3} \]
Derivatans nollställe:
- \[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\ & & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\ & & {20 \cdot 3 \over 4} & = & x \\ & & x & = & 15 \end{array}\]
Andraderivatans tecken för \( \, x = 15 \, \):
- \[ A''(15) = -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \]
Andraderivatan är negativ för \( \, x = 15 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 15 \, \).
För \( \, x = 15 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen ett maximum, dvs arean blir maximal.
d) Eftersom rektangeln får sin största arean för \( \, x = 15 \, \) sätter vi in \( \, x = 15 \, \) i målfunktionen för att få största arean:
- \[ A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 \]
Glasplattans största area blir \( \, 150 \, {\rm cm}^2 \, \).
Exempel 3 Konservburk
| För att producera en cylinderformad konservburk har man \( \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \) plåt
till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea \( \, = \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \). Maximera konservburkens volym. a) Formulera problemets bivillkor. b) Ställ upp problemets målfunktion. c) Bestäm cylinderns radie och höjd så att burkens volym blir maximal. d) Beräkna konservburkens maximala volym. e) Dra slutsatser. |
Fil:Konservburk 40.jpg |
Lösning:
a) Begränsningsarean \( \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \)
\( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \)
|
 |
b) Cylinderns volym \( \, V \, \) är basytan \( \times \) höjden dvs: \( \qquad\qquad\quad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, \)
För att skriva om denna funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel, sätter vi in bivillkoret från a) i \( \, V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, \) och eliminerar \( \, {\color{Red} h} \, \):
- \[ V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{250 \over \pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \cdot r \, - \, \pi\,r^3 \]
c) Målfunktionen maximeras:
- \[ V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 \]
- \[ V'(r) \, = \, 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 \]
- \[ V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r \]
Derivatans nollställe:
- \[\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ & & 250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\ & & {250 \over 3\,\pi} & = & r^2 \\ & & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\ & & r & = & 5,15 \end{array}\]
\( \, r_2 = -5,15 \, \) förkastas, för radien kan inte bli negativ: \( \, r \, > \, 0 \, \) .
Andraderivatans tecken för \( \, r = 5,15 \, \):
\( V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, r = 5,15 \, \).
För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in \( \, r = 5,15 \, \) i bivillkoret från a):
\( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15 \, = \, 10,30 \)
Cylinderns volym blir maximal för radien \( \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; \) och höjden \( \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; \).
d) Resultaten från c) sätter vi in i målfunktionen för att få cylinderns största volym:
- \[ V(5,15) \, = \, \pi \, \cdot 5,15^2 \, \cdot 10,30 \, = \, 858,23 \]
Konservburkens maximala volym blir \( \; 858,23 \, {\rm cm}^3 \; \).
e) Slutsats:
Följande samband råder mellan cylinderns radie \( \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; \) och dess höjd \( \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; \) när volymen till en cylinder med \( \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \) begränsningsarea, maximeras:
- \( 2 \; r \; = \; h \)
Återstår frågan om följande samband även råder generellt mellan radien \( \; r \; \) och höjden \( \; h \; \) för alla konservburkar med maximal volym:
- Diametern = Höjden
Denna fråga är föremål för undersökning i övning 11. En annan intressant frågeställning är:
Råder samma samband \( \; 2 \, r \, = \, h \; \) om man utgår från en konservburk med fast given volym och istället minimerar materialåtgången för konservburken?
En närmare undersökning kommer att visa att detta är fallet.
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
