Skillnad mellan versioner av "3.5 Extremvärdesproblem"

Versionen från 29 januari 2015 kl. 11.09

Lektion 33 Extremvärdesproblem I

Lektion 34 Extremvärdesproblem II

Exempel 1 Glasskiva (rektangel i triangel)

En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm: Ur skivan ska en rektangulär glasplatta skäras ut så att glasplattans area \( \, A(x) \, \) blir maximal. a)   Ställ upp arean \( \, A(x) \, \) som en funktion av \( \, x \, \) med \( \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, 30 \; \). b)   Bestäm \( \, x \, \) så att arean \( \, A(x) \, \) blir så stor som möjligt. c)   Beräkna glasplattans maximala area.

Lösning:

a)   Vi inför beteckningen \( \; {\color{Red} y} \; \) för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} \)

Men \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \) är en funktion av två variabler som vi inte kan hantera. För att skriva om den till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \), måste \( \, {\color{Red} y} \, \) uttryckas med \( \, x \, \), så att \( \, {\color{Red} y} \, \) kan elimineras från \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \). Det finns ett samband mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \).

Detta samband bestäms rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa och måste alltid ligga på den.

Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, så här: Triangelns hypotenusa blir då en del av en rät linje. Punkten \( \, (x, y) \, \) rör sig på denna räta linje vars ekvation är: \[ {\color{Red} y} \, = \, k\,x \, + \, m \] Lutningen \( \, k \, = \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3} \) Skärningspunkten med \(\,y\)-axeln: \( \quad m \, = \, 20 \) Den räta linjens ekvation blir då: \( \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 \) Denna ekvation är det önskade sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \,\).

Inom optimeringslära \(-\) den matematiska disciplin som sysslar med optimering (maximering och minimering) av funktioner \(-\) kallas det erhållna sambandet för problemets bivillkor (eng. constraint). Bivillkoren bestäms av problemets geometriska eller andra omständigheter som är givna och oföränderliga. Därför kallas de även för tvångsvillkor.

Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan \(-\) sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} -\) sätts in i \( \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\) och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av \( \, x \):

\[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]

I optimeringslära kallas den erhållna funktionen av en variabel för problemets målfunktion (eng. objective function):

Ett problems målfunktion är alltid den som ska optimeras dvs maximeras eller minimeras. I vårt exempel gäller det att maximera denna målfunktion.

Extremvärdesproblem består i regel av ett eller flera bivillkor och en målfunktion, där bivillkoren används för att reducera målfunktionen till en funktion av endast en variabel.

b)   Resten av uppgiften kan lösas med de metoder vi lärt oss i de förra avsnitten.

\[ A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]

\[ A'(x) \, = \, -\,{4 \over 3}\,x \, + \, 20 \]

\[ A''(x) \, = \, -\,{4 \over 3} \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\ & & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\ & & {20 \cdot 3 \over 4} & = & x \\ & & x & = & 15 \end{array}\]

Andraderivatans tecken för \( \, x = 15 \, \):

\[ A''(15) = -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \]

Andraderivatan är negativ för \( \, x = 15 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 15 \, \).

För \( \, x = 15 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen ett maximum, dvs arean blir maximal.

c)   Eftersom rektangeln får sin största arean för \( \, x = 15 \, \) sätter vi in \( \, x = 15 \, \) i målfunktionen för att få största arean:

\[ A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 \]

     Glasplattans största area blir \( \, 150 \, {\rm cm}^2 \, \).

Exempel 2 Rektangel i parabel

En rektangel är inbunden i en parabel vars ekvation är given: \[ y \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 \] Rektangelns area \( \, A \, \) ska maximeras. a)   Vad är problemets bivillkor? b)   Ställ upp problemets målfunktion samt definitionsmängd. c)   Bestäm \( \, x \, \) så att rektangelns area \( \, A \, \) blir maximal. d)   Beräkna rektangelns maximala area. Lösning:

a)   Problemets bivillkor är parabelns ekvation ovan som bestäms av att rektangelns "rörliga" hörn \( (x, \, y) \) är bundet till och måste röra sig på parabeln.

b)   Problemets målfunktion är rektangelns area som ska maximeras. Den kan skrivas som \( \quad A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} \)

För att eliminera \( \, {\color{Red} y} \, \) sätter vi in bivillkoret från a) i \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \):

\[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left(-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]

Definitionsmängden är motiverad å ena sidan av att arean och därmed \( \, x \, \) inte kan bli negativ, å andra sidan av lösningen till ekvationen \( \, \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 \, \) dvs parabelns nollställe \( \, x = \sqrt{10} \, \), se figuren ovan.

c)   Vi deriverar målfunktionen:

\[ A(x) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]

\[ A'(x) \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 10 \]

\[ A''(x) \, = \, -\,6\,x \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0 \\ & & 10 & = & 3\,x^2 \\ & & {10 \over 3} & = & x^2 \\ & & x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\ & & x_1 & = & 1,83 \\ & & x_2 & = & -1,83 \end{array}\]

Pga målfunktionens definitionsmängd förkastas \( \, x_2 = -1,83 \, \).

Andraderivatans tecken för \( \, x = 1,83 \, \):

\( A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 1,83 \, \).

För \( \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum.

d)   Eftersom rektangelns area blir maximal för \( \, x = 1,83 \, \) sätter vi in \( \, x = 1,83 \, \) i målfunktionen för att få största arean:

\[ A(1,83) = -\,1,83^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 \]

     Rektangelns maximala area är \( \, 12,17 \, \).

Exempel 3 Konservburk

Lösning:

a)   Begränsningsarean \( \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \) \[\begin{array}{rcl} 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 & = & 500 \\ 2\,\pi\,r\,h & = & 500 \, - 2\,\pi\,r^2 \\ h & = & {500 - 2\,\pi\,r^2 \over 2\,\pi\,r} \\ \qquad {\rm Bivillkoret:} \quad\quad {\color{Red} { h}} & {\color{Red} =} & {\color{Red} {{500 \over 2\,\pi\,r} \, - \, r }} \end{array}\]

b)   Cylinderns volym \( \, V \, \) kan skrivas som basytan \( \times \) höjden, dvs: \( \quad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, \)

För att skriva om denna funktion av två variabler \( \, r \, \) och \( \, {\color{Red} h} \, \) till en funktion av endast en variabel, sätter vi in bivillkoret från a) i \( \, V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, \), så att \( \, {\color{Red} h} \, \) kan elimineras:

\[ V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{500 \over 2\,\pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {500 \cdot \pi\,r^2 \over 2\,\pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, {500 \cdot \,r \over 2} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 \]

c)