Skillnad mellan versioner av "3.5 Extremvärdesproblem"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Exempel 1 Glasskiva (rektangel i triangel)) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Exempel 1 Glasskiva (rektangel i triangel)) |
||
| Rad 36: | Rad 36: | ||
'''Lösning:''' | '''Lösning:''' | ||
| − | a) Vi inför beteckningen <math> \; {\color{Red} y} \; </math> för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som <math> \ | + | a) Vi inför beteckningen <math> \; {\color{Red} y} \; </math> för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som <math> \quad A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} </math> |
Men <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math> är en funktion av <u>två</u> variabler som vi inte kan hantera. För att skriva om den till en funktion av endast <u>en</u> variabel, nämligen <math> \, x \, </math>, måste <math> \, {\color{Red} y} \, </math> uttryckas med <math> \, x \, </math> och på så sätt elimineras från <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math>. | Men <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math> är en funktion av <u>två</u> variabler som vi inte kan hantera. För att skriva om den till en funktion av endast <u>en</u> variabel, nämligen <math> \, x \, </math>, måste <math> \, {\color{Red} y} \, </math> uttryckas med <math> \, x \, </math> och på så sätt elimineras från <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math>. | ||
Versionen från 26 januari 2015 kl. 14.22
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | --> Nästa avsnitt |
Lektion 33 Extremvärdesproblem I
Lektion 34 Extremvärdesproblem II
Exempel 1 Glasskiva (rektangel i triangel)
| En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm:
Ur skivan ska en rektangulär glasplatta skäras ut så att glasplattans area \( \, A(x) \, \) blir maximal. a) Ställ upp arean \( \, A(x) \, \) som en funktion som endast beror av \( \, x \, \). b) Bestäm \( \, x \, \) så att arean \( \, A(x) \, \) blir så stor som möjligt. c) Beräkna glasplattans maximala area. |
 |
Lösning:
a) Vi inför beteckningen \( \; {\color{Red} y} \; \) för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} \)
Men \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \) är en funktion av två variabler som vi inte kan hantera. För att skriva om den till en funktion av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \), måste \( \, {\color{Red} y} \, \) uttryckas med \( \, x \, \) och på så sätt elimineras från \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \).
Dvs vi måste formulera sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \).
Detta samband bestäms rektangelns "fria" hörn som är bunden till triangelns hypotenusa. Det hörnet måste ju alltid ligga på hypotenusan.
| Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, så här:
Triangelns hypotenusa blir del av en rät linje med negativ lutning. Punkten \( \, (x, y) \, \) rör sig på denna räta linje. Den räta linjens ekvation i \(\,k\)-form:
Lutningen \( \, k \, = \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3} \) Skärningspunkten med \(\,y\)-axeln: \( \quad m \, = \, 20 \) Den räta linjens ekvation blir då:\( \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 \)
|
 |
Denna ekvation är det önskade sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \,\).
Inom optimeringslära \(-\) den matematiska disciplin som sysslar med optimering (maximering och minimering) av funktioner \(-\) kallas det erhållna sambandet för problemets bivillkor (eng. constraint).
Bivillkoret sätts in i \( \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\) och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av \( \, x \):
- \[ A\,(x, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]
I optimeringslära kallas den erhållna funktionen av en variabel för problemets målfunktion (eng. objective function):
I vårt exempel gäller det att maximera denna målfunktion.
Extremvärdesproblem består i regel av ett eller flera bivillkor och en målfunktion, där bivillkoren används för att reducera målfunktionen till en funktion av endast en variabel.
b) Resten av uppgiften kan lösas med de metoder vi lärt oss i de förra avsnitten.
- \[ A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]
- \[ A'(x) \, = \, -\,{4 \over 3}\,x \, + \, 20 \]
- \[ A''(x) \, = \, -\,{4 \over 3} \]
Derivatans nollställe:
- \[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\ & & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\ & & {20 \cdot 3 \over 4} & = & x \\ & & x & = & 15 \end{array}\]
Andraderivatans tecken för \( \, x = 15 \, \):
- \[ A''(15) = -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \]
Andraderivatan är negativ för \( \, x = 15 \, \).
Därav följer att \( A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 15 \, \).
För \( \, x = 15 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen ett maximum.
c) Eftersom rektangeln får sin största arean för \( \, x = 15 \, \) sätter vi in \( \, x = 15 \, \) i målfunktionen för att få största arean:
- \[ A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 \]
Glasplattans största area blir \( \, 150 \, {\rm cm}^2 \, \).
Exempel 2 Rektangel i parabel
 |
En rektangel är inbunden i en parabel:
a) Formulera problemets bivillkor. b) Ställ upp problemets målfunktion. c) Bestäm \( \, x \, \) så att rektangelns area \( \, A \, \) blir maximal. d) Beräkna rektangelns maximala area. |
