Skillnad mellan versioner av "Ekvationer"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 19: | Rad 19: | ||
Sådana ekvationer kallas ''kvadratiska'' eller ''2:a gradsekvationer'' eftersom obekanten <math> x </math> förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2, dvs som <math> x^2 </math>. | Sådana ekvationer kallas ''kvadratiska'' eller ''2:a gradsekvationer'' eftersom obekanten <math> x </math> förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2, dvs som <math> x^2 </math>. | ||
| − | 3:e- och högre gradsekvationer är i sin generella form så pass svåra att de inte behandlas i skolan. Vissa specialfall däremot kommer att | + | 3:e- och högre gradsekvationer är i sin generella form så pass svåra att de inte behandlas i skolan. Det är t.o.m. omöjligt att med algebraiska metoder lösa ekvationer av 5:e och högre grad i generell form. Denna "omöjlighet" har bevisats av den norske matematikern Abel. Vissa specialfall däremot går att lösa. Vi kommer att ta upp en viss typ av 4:e gradsekvationer. Men först ska vi komplettera våra kunskaper om ekvationslösning med bl.a. ekvationer av typ: |
<math> \sqrt{x + 2} - 7 = x </math> | <math> \sqrt{x + 2} - 7 = x </math> | ||
Versionen från 11 november 2010 kl. 09.37
| Teori | Övningar |
Vilken typ av ekvation?
Ekvationer har vi lärt oss ända från grundskolan till gymnasiet. I Matte A-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av typ\[ 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 \]
Sådana ekvationer kallas linjära eller 1:a gradsekvationer eftersom obekanten \( x \) förekommer endast som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. \( x \) är ju samma som \( x^1 \). Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen. I Matte B-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av typ\[ x^2 + 6\,x - 16 = 0 \]
Sådana ekvationer kallas kvadratiska eller 2:a gradsekvationer eftersom obekanten \( x \) förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2, dvs som \( x^2 \).
3:e- och högre gradsekvationer är i sin generella form så pass svåra att de inte behandlas i skolan. Det är t.o.m. omöjligt att med algebraiska metoder lösa ekvationer av 5:e och högre grad i generell form. Denna "omöjlighet" har bevisats av den norske matematikern Abel. Vissa specialfall däremot går att lösa. Vi kommer att ta upp en viss typ av 4:e gradsekvationer. Men först ska vi komplettera våra kunskaper om ekvationslösning med bl.a. ekvationer av typ\[ \sqrt{x + 2} - 7 = x \]
Sådana ekvationer kallas rotekvationer och vi kommer att lösa dem genom att återföra dem till 2:a gradsekvationer, precis som man återför 2:a gradsekvationer till 1:a gradsekvationer. Man bryter ned den nya, okända typen (svårighetsgraden) till en lägre, redan känd typ (svårighetsgrad).
Rotekvationer
Här följer ett exempel på hur man löser rotekvationen ovan genom att skriva om den till en 2:a gradsekvation.
