Skillnad mellan versioner av "1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner"

Versionen från 10 juli 2014 kl. 12.15

Lektion 8 Kontinuerliga & diskreta funktioner

Exempel 1 Diskret funktion

En torghandlare säljer ägg för 3 kr per styck.

a) Ställ upp en funktion som beskriver priset \( y \, \) kr för \( x \, \) st ägg.

b) Rita grafen till funktionen i a).

Lösning:

a) \( {\color{White} x} {\color{Red} 1} \, \) ägg kostar \( {\color{Red} 1} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{Red} 2} \, \] ägg kostar \( {\color{Red} 2} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{Red} 3} \, \] ägg kostar \( {\color{Red} 3} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{White} x} \qquad \cdots \]

\[ {\color{Red} x} \, \] ägg kostar \( {\color{Red} x} \cdot 3 \;{\rm kr} \) eller \( 3\;{\color{Red} x} \;{\rm kr.} \)

Därför är prisfunktionen:

\[ y = 3\;{\color{Red} x} \]

b) Grafen till Funktionen \( y = 3\;{\color{Red} x} \) visar priset \( y \, \) som en funktion av antalet \( x \, \):

Fil:Diskret prisfunktion ägg 70.jpg

Funktionen \( y = 3\;{\color{Red} x} \) med \( {\color{Red} x} \, \) = antal ägg är en diskret funktion.

I matematiken betyder diskret åtskild, avgränsad eller separerad och är motsatsen till kontinuerlig. Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade från sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan 2 och 3 och inte heller mellan de andra heltalen. "Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Samma gäller förstås för "antal ägg". Det finns inga halva eller bråkdel ägg.

Funktionen \( y = 3\;{\color{Red} x} \) är diskret därför att dess definitionsmängd: alla \( {\color{Red} x} \geq 0\, \) med \( {\color{Red} x} \, \) = antal ägg är en diskret mängd. Därför är dess graf ritad med separerade prickar och inte med en genomdragen linje. För att rita en diskret funktions graf måste man lyfta pennan minst en gång.

Exempel 2 Kontinuerlig funktion

En annan torghandlare säljer ris för 30 kr per kilo.

a) Ställ upp en funktion som beskriver priset \( y \, \) kr för \( x \, \) kilo.

b) Rita grafen till funktionen i a).

Lösning:

a) Av samma anledning som i Exempel 1 är prisfunktionen här:

\[ y = 30\;{\color{Red} x} \]

b) Grafen till Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) visar priset \( y \, \) som en funktion av vikten \( x \, \):

Fil:Kontinuerlig prisfunktion ris 70.jpg

Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) med \( {\color{Red} x} \, \) = kg ris är en kontinuerlig funktion, närmare bestämt är den kontinuerlig för alla \( {\color{Red} x} \, \).

I matematiken betyder kontinuerlig sammanhängande och är motsatsen till diskret. De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal - hur nära varandra de än mår vara - finns alltid oändligt många andra tal.

Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) är kontinuerlig därför att dess definitionsmängd: alla \( {\color{Red} x} \geq 0\, \) med \( {\color{Red} x} \, \) = kg ris är en kontinuerlig mängd. Därför är dess graf ritad med en genomdragen linje. En kontinuerlig funktions graf kan man rita utan att lyfta pennan. T.ex. är alla polynomfunktioner kontinuerliga för alla \( x \, \).

Anmärkning 1: I exemplet ovan har man försummat att ett riskorn väger ca. 0,02 g. Eftersom man inte kan dela ett riskorn kan man - rent teoretiskt - hävda att funktionen i exemplet också är diskret. Vikten växer nämligen inte kontinuerligt utan med ett diskret steg på 0,02 g. Och därmed växer även priset med ett diskret steg på 0,02 g * 3 ören/g = 0,06 ören. Men i praktiken kan man kanske förlåta denna försummelse. Genom att fundera vidare i dessa banor lämnar man matematiken och kommer in i filosofiska diskussioner. Ett annat intressant problem i detta sammanhang är: Är tiden diskret eller kontinuerlig? Inte sättet att mäta den utan tiden i sig. Vi har som vanligt i filosofin inget svar på denna fråga.

Anmärkning 2: I verkligheten finns det - exakt talat - inga kontinuerliga mängder, vilket visar betydelsen av diskreta funktioner. Kontinuitet är en matematisk abstraktion som endast förekommer i talmängder eller andra matematiska objekt. Kontinuerliga funktioner är matematiska modeller som man i regel använder för att beskriva verkligheten. Men i vissa fall föredrar man diskreta modeller. Sådana modeller studeras i en speciell disciplin av matematiken som heter Diskret matematik.

Exempel 3 Fibonaccis funktion

Ett exempel på problem som med fördel kan modelleras med diskreta funktioner är följande uppgift som den italienske matematikern Leonardo Pisano Fibonacci år 1202 formulerade i sin bok Liber abaci (Boken om räknekonsten). Den handlar om kaniners fortplantning:

Fil:Fibonacci problem 60.jpg

Om vi följer uppgiftens lydelse och räknar fram de första månaderna får vi följande tabell:

Antal månader	Antal kaninpar
\( 1\, \)	\( 1\, \)
\( 2\, \)	\( 1\, \)
\( 3\, \)	\( 2\, \)
\( 4\, \)	\( 3\, \)
\( 5\, \)	\( 5\, \)
\( 6\, \)	\( 8\, \)
\( 7\, \)	\( 13\, \)
\( 8\, \)	\( 21\, \)
\( \cdots \)	\( \cdots \)

I den andra kolumnen av tabellen står de s.k. fibonaccitalen. Så här uppstår de enligt uppgiftens inledande lydelse:

De två första månaderna finns det 1 kaninpar. De föder sitt första barnpar först efter 2 månader dvs i månad nr 3, varför det finns 2 kaninpar i månad 3. I månad 4 föder det första paret sitt andra barnpar, varför det finns 3 par i månad 4. I månad 5 föder det första paret sitt tredje barnpar, men även deras första barnpar föder ett nytt par, eftersom det har gått 2 månader sedan deras födelse. Därför finns det 5 par i månad 5. Osv. \( \cdots \)

Praktiskt taget blir det allt svårare att hålla reda på antalet kaninpar när antalet månader växer. Man måste kanske rita någon sorts diagram och anteckna allt från månad till månad. En utväg ur dilemmat vore att upptäcka ett mönster, en struktur, t.ex. ett samband mellan antal månader och kaninpar, en slags laglighet i bildandet av fibonaccitalen som kan beskrivas i form av en funktion.

Undersöker man tabellen noga kan man se följande enkelt mönster:

Summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital .

För att beskriva detta mönster inför vi beteckningarna:

\[ n\, = \, \] Antalet månader

\[ y\, = F(n)\, = \, \] Antalet kaninpar i månaden \( n\, \)

Mönstret som vi upptäckte ovan kan beskrivas så här: De första två fibonaccitalen måste vara kända, annars kan vi inte starta beräkningen. Men det är enkelt: Vi tar dem från tabellen ovan. Resten är en översättning av mönstrets svenska till matematik:

\[ F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1, \\ 1 & \mbox{om } n = 2, \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal} \\ F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots\,. \end{cases} \]

Denna formel definierar en diskret funktion eftersom \( x\, = \, \) antalet kaninpar är heltal. Den kallas Fibonaccis funktion.

De första raderna i definitionen ovan säger att de första två fibonaccitalen är 1 och 1. Den andra raden säger att det n-te fibonaccitalet är summan av de två föregående, vilket är bara en annan formulering av samma mönster vi upptäckte i tabellen.

En annan intressant egenskap av Fibonaccis funktion är att den är rekursiv, vilket betyder att den anropar sig själv, fast med olika argument: I en vanlig funktion står \( y \, \) eller \( F(n) \, \) vänster om likhetstecknet och den oberoende variabeln \( n \, \) höger om likhetstecknet. Men här står \( F(n) \, \), fibonaccitalen, på båda sidor likhetstecknet, fast för olika månader (= argument). För att beräkna ett fibonaccital måste man känna till de två föregående. Men eftersom vi har de två första \( F(1) = 1 \, \) och \( F(2) = 1 \, \), s.k. startvärden, kan vi beräkna alla andra successivt (= rekursivt) utgående från dessa startvärden. Att \( F(n) \, \) anropas på båda sidor likhetstecknet är just den rekursiva egenskapen.

Med formeln ovan beräknas de 12 första fibonaccitalen till (läs radvis):

Fil:De första 12 Fibonaccitalen 60.jpg

Som man ser växer fibonaccitalen, dvs ökar kaninpopulationen, ganska fort. Nu kan vi äntligen besvara den inledande frågan: Det kommer att finnas \( 144 \, \) kaninpar om ett år.

Så här ser grafen till Fibonaccis funktion för de 12 första fibonaccitalen ut:

Fil:Fibonacci 70.jpg

Fibonaccis funktion med \( {\color{Red} n} \, \) = heltal och \( y \, \) = fibonaccitalen är en diskret funktion.

För ett intressant samband mellan fibonaccitalen och det s.k. gyllene snittet se övning +++.

Internetlänkar

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.