Skillnad mellan versioner av "1.1 Fördjupning till Polynom"

Versionen från 23 juni 2014 kl. 10.42

Polynomfunktioner av högre grad

Ett polynoms grad är ett mått på dess kompexitet.

Ett exempel på hur kompexiteten växer med graden (från 0 till 5) är följande sex polynom:

Polynomen \(U_n(x)\,\) bildar en följd av polynom där varje polynom har ett index \(n\,\) som samtidigt är polynomets grad.

De nedsänkta indexen \(_0,\,_1,\,_2,\,_3,\,_4,\,_5\) i beteckningarna \(U_0, U_1, U_2, U_3, U_4, U_5\,\) används här både för att relatera indexet till polynomets grad och kunna skriva sedan en formel för dessa polynom som kommer att visa att de hänger ihop som en familj, se några rader längre fram.

Här följer graferna till polynomen ovan ritade i samma koordinatsystem. De visar att kurvorna svänger oftare och får fler maxima/minima ju högre deras grad är:

Fil:Chebyshev Polyn 2nd 60.jpg

Dessa polynom heter Chebyshevpolynom av 2:a slag efter den ryske matematikern Chebyshev som presenterade dem 1854. De är relaterade till varandra med följande formel, kallad rekursionsformel:

\[ U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \]

\[ U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2\,x \]

Denna formel ger oss möjligheten att ta fram Chebyshevpolynomen rekursivt (successivt), dvs vi kan ställa upp ett polynom med hjälp av de två föregående. De första två Chebyshevpolynomen \(U_0, U_1\,\) är explicit angivna (i den andra raden). Det tredje Chebyshevpolynomet \(U_2\,\) får man genom att sätta in \(U_0, U_1\,\) i högerledet av rekursionsformeln (i den första raden). Det fjärde Chebyshevpolynomet \(U_3\,\) får man genom att sätta in \(U_1, U_2\,\) i högerledet osv. Det finns oändligt många Chebyshevpolynom. I princip kan man få dem alla med rekursionsformeln utgående från de två första. Man kan säga att följden av Chebyshevpolynomen definieras och genereras av rekursionsformeln ovan. Låt oss börja med att ställa upp det tredje (OBS! n = 2) med hjälp av de två första (n = 0 och 1)\[ \displaystyle U_0(x) = \underline{1} \]

\( U_1(x) = \underline{2\,x} \)

För n = 2 ger rekursionsformeln\[ U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,U_1(x)\,-\,U_0(x) = 2\,x\,\cdot\,2\,x\,-\,1 = \underline{4\,x^2\,-\,1} \]

Sedan kan vi få fram \( U_3(x) \) genom att att sätta in n = 3 i rekursionsformeln\[ U_3(x) = 2\,x\,\cdot\;U_2(x)\,-\,U_1(x) = 2\,x\,\cdot\,(4\,x^2\,-\,1)\,-\,2\,x = 8\,x^3\,-\,2\,x\,-\,2\,x = \underline{8\,x^3\,-\,4\,x} \]

För n = 4 ger rekursionsformeln \( U_4(x) \) osv.\[ U_4(x) = 2\,x\,\cdot\,U_3(x)\,-\,U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,(8\,x^3\,-\,4\,x)\,-\,(4\,x^2\,-\,1) = 16\,x^4\,-\,8\,x^2\,-\,4\,x^2\,+\,1 = \underline{16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1} \]

Så här kan man fortsätta för att få fram alla Chebyshevpolynom. Förfarandet är rekursivt eftersom formeln används för att ställa upp ett polynom från de två föregående.

Jämförelse av koefficienter

Jämförelse av koefficienter är en teknik eller en metod som används i olika sammanhang. Vi kommer att använda den för att i nästa avsnitt faktorisera högre gradspolynom och med hjälp av faktorisering lösa ekvationer av högre grad än 2. Jämförelse av koefficienter bygger på begreppet likhet mellan polynom. Därför ska vi börja med att definiera likhet mellan polynom.

Definition:

Med likhet mellan polynom menar man en algebraisk identitet mellan polynomen. Två polynom av samma grad:

\[ P(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \]

och

\[ Q(x) = b_n \cdot x^n + b_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + b_1 \cdot x + b_0 \]

är lika med varandra om alla deras motsvarande koefficienter, dvs de som tillhör termer av samma grad, överensstämmer, närmare bestämt om:

\[ a_n = b_n, \quad a_{n-1} = b_{n-1}, \quad \ldots \quad a_1 = b_1, \quad a_0 = b_0 \]

Exempel 1

Två polynom är givna\[ P(x) = a \cdot x + 2\,a + b \]

\( Q(x) = 2\,x + 1\!\, \).

Låt \( a\, \) och \( b\, \) vara konstanter medan \( x\, \) är polynomens oberoende variabel.

För vilka värden på \( a\, \) och \( b\, \) är de två polymen lika med varandra?

Vi skriver \( P(x),\, \) och \( Q(x)\, \) så att vi lättare kan se motsvarande koefficienter\[ P(x) = a \cdot x^1 + (2\,a + b) \cdot x^0 \]

\( Q(x) = 2 \cdot x^1 + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x^0 \)

Jämförelse av koefficienterna till \( x^1\, \) leder till\[ a = 2\,\]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \,\) leder till\[ 2\,a + b = 1\!\,\]

Sätter man in \( a = 2\, \) i denna relation får man \( b = -3\, \).

Polynomen \( P(x)\, \) och \( Q(x)\, \) är lika med varandra för\[ a = 2\, \]

\( b = -3\, \)

Metoden kallas jämförelse av koefficienter och är ett viktigt verktyg för att lösa högre gradsekvationer genom att faktorisera högre gradspolynom, se övningarna 10 och 11.

Exempel 2

Problem: Följande 3:e gradspolynom är givet\[ P(x) = x^3 + 4\,x^2 + x - 26 \]

Hitta ett 2:a gradspolynom \( Q(x)\, \) så att:

\[ Q(x)\cdot (x-2) = P(x) \]

Svar: \( Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 \)

Lösning:

Det 2:a gradspolynomet \( Q(x)\, \) kan skrivas så här\[ Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \]

Vi bestämmer koefficienterna \( a\, , \, b\, \) och \( c\, \) så att \( Q(x)\cdot (x-2) = P(x) \)

\(\begin{align} Q(x) \cdot (x - 2) & = (a\,x^2 + b\,x + c)\cdot (x - 2) = a\,x^3 - 2\,a\,x^2 + b\,x^2 - 2\,b\,x + c\,x - 2\,c = \\ & = a\,x^3 + (b - 2\,a)\,x^2 + (c - 2\,b)\,x - 2\,c = \\ & = a \cdot x^3 + (b - 2\,a) \cdot x^2 + (c - 2\,b) \cdot x - 2\,c \cdot x^0 \\ P(x) & = 1 \cdot x^3 + \quad\;\; 4 \quad\;\; \cdot x^2 + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x - 26 \cdot x^0 \end{align} \)

Jämförelse av koefficienterna till \( x^3 \)-termen ger:

\[\begin{align} a & = 1 \end{align} \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^2 \)-termen ger:

\[\begin{align} b - 2\, a & = 4 \\ b - 2\cdot 1 & = 4 \\ b - 2 & = 4 \\ b & = 6 \\ \end{align} \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^1 \)-termen ger:

\[\begin{align} c - 2\, b & = 1 \\ c - 2\cdot 6 & = 1 \\ c - 12 & = 1 \\ c & = 13 \\ \end{align} \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \)-termen bekräftar värdet på c:

\[\begin{align} - 2\,c & = - 26 \\ c & = 13 \\ \end{align} \]

Vi får \( a = 1\, , \, b = 6\, \) och \( c = 13\, \) och därmed\[ Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 \]