Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 12b"

Nuvarande version från 22 september 2012 kl. 18.00

I övning 12a) hade vi fått följande delfaktorisering av $P(x)\,$ $$\begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+3)\cdot (x-3) \cdot Q(x) \\ & = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) \end{align}$$

För en fullständig faktorisering återstår faktoriseringen av polynomet $$Q(x) = x^2 + 3\,x + 2$$

Därför sätter vi upp ekvationen $$x^2 + 3\,x + 2 = 0$$

Vietas formler ger $$\begin{align} x_1 + x_2 & = -3 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}$$

Det är enkelt att få lösningarna $x_1 = -1\,$ och $x_2 = -2\,$ ur dessa relationer.

Således kan $Q(x)\,$ faktoriseras så här $$Q(x)= x^2 + 3\,x + 2 = (x + 1) \cdot (x + 2)$$

Detta resultat ger den fullständiga faktoriseringen av $P(x)\,$ $$P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)$$