Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 11b"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | |||
Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat: | Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat: | ||
| Rad 6: | Rad 5: | ||
I 11 a) hade vi bestämt <math> Q(x)\, </math> till: | I 11 a) hade vi bestämt <math> Q(x)\, </math> till: | ||
| − | <math> Q(x) = x^2 - | + | <math> Q(x) = x^2 - 9\,x + 20 </math> |
| − | + | Delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> blir då: | |
| − | <math> x^2 - | + | <math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) </math> |
| + | |||
| + | För att fullständigt faktorisera 4:e gradspolynomet måste även <math> Q(x)\, </math> faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen: | ||
| + | |||
| + | <math> x^2 - 9\,x + 20 = 0 </math> | ||
Vietas formler ger : | Vietas formler ger : | ||
| − | <math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(- | + | <math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-9) = 9 \\ |
| − | x_1 \cdot x_2 & = | + | x_1 \cdot x_2 & = 20 |
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | Det är | + | Det är enkelt att få lösningarna <math> x_1 = 4\, </math> och <math> x_2 = 5\, </math> ur dessa relationer. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här: | Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här: | ||
| − | <math> Q(x)= x^2 - | + | <math> Q(x)= x^2 - 9\,x + 20 = (x - 4) \cdot (x - 5) </math> |
| − | Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av | + | Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 4:e gradspolynomet i början: |
| − | <math> x^ | + | <math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </math> |
får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet: | får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet: | ||
| − | <math> x^ | + | <math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x - 4) \cdot (x - 5) </math> |
Versionen från 19 september 2012 kl. 14.39
Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) \]
I 11 a) hade vi bestämt \( Q(x)\, \) till\[ Q(x) = x^2 - 9\,x + 20 \]
Delfaktoriseringen av \( P(x)\, \) blir då\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) \]
För att fullständigt faktorisera 4:e gradspolynomet måste även \( Q(x)\, \) faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen\[ x^2 - 9\,x + 20 = 0 \]
Vietas formler ger \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-9) = 9 \\ x_1 \cdot x_2 & = 20 \end{align}\]
Det är enkelt att få lösningarna \( x_1 = 4\, \) och \( x_2 = 5\, \) ur dessa relationer.
Således kan \( Q(x)\, \) faktoriseras så här\[ Q(x)= x^2 - 9\,x + 20 = (x - 4) \cdot (x - 5) \]
Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 4:e gradspolynomet i början\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) \]
får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x - 4) \cdot (x - 5) \]
