Skillnad mellan versioner av "2.4 Lösning 10b"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | < | + | Eftersom tangenten är parallell till linjen <math> y = x - 4\, </math> som har lutningen 1 , har även tangenten lutningen: |
| − | --> | + | |
| + | ::<math> k \, = \, 1 </math> | ||
| + | |||
| + | Å andra sidan har tangenten samma lutning som själva kurvan <math> y = f(x) = 2\,x^2 - 3\,x - 4 </math> i den okända beröringspunkten <math> x </math>. Kurvans lutning i denna punkt är <math> f\,'(x) </math> : | ||
| + | |||
| + | För att få fram <math> x\, </math> bildar vi derivatan, sätter den till <math> 1\, </math> och beräknar <math> x\, </math> : | ||
| + | |||
| + | :<math>\begin{array}{lcll} f(x) & = & 2\,x^2 - 3\,x - 4 \\ | ||
| + | f\,'(x) & = & 4\,x - 3 & = & 1 \\ | ||
| + | & = & 4\,x & = & 4 \\ | ||
| + | & = & x & = & 1 \\ | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | |||
| + | :<math> f(x) \,=\, 2\,x^2 - 3\,x - 4 </math> | ||
| + | |||
| + | :<math> f\,'(x) \,=\, 4\,x - 3 \,=\, 1 </math> | ||
| + | |||
| + | :<math> f\,'(-1) \,=\, 2 \cdot (-1) + 5 \,=\, -2 + 5 \,=\, 3 </math> | ||
| + | |||
| + | Således är <math> k = 3\, </math> och tangentens ekvation blir: | ||
| + | |||
| + | ::<math> y \, = \, 3\,x \, + \, m </math> | ||
| + | |||
| + | För att få fram <math> m\, </math> beräknar vi först beröringspunktens koordinater: | ||
| + | |||
| + | ::<math> x = -1 </math> | ||
| + | ::<math> y = f(-1) = (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 1 = 1 - 5 - 1 = -5 </math> | ||
| + | |||
| + | Sedan sätter vi in beröringspunktens koordinater i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger på tangenten: | ||
| + | |||
| + | :<math>\begin{array}{rcl} y & = & 3\,x \, + \, m \\ | ||
| + | -5 & = & 3 \cdot (-1) \, + \, m \\ | ||
| + | -5 & = & -3 \, + \, m \\ | ||
| + | -5 + 3 & = & m \\ | ||
| + | - 2 & = & m | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | |||
| + | Tangentens ekvation: | ||
| + | |||
| + | ::<math> y \, = \, 3\,x \, - \, 2 </math> | ||
Versionen från 19 oktober 2014 kl. 15.20
Eftersom tangenten är parallell till linjen \( y = x - 4\, \) som har lutningen 1 , har även tangenten lutningen:
- \[ k \, = \, 1 \]
Å andra sidan har tangenten samma lutning som själva kurvan \( y = f(x) = 2\,x^2 - 3\,x - 4 \) i den okända beröringspunkten \( x \). Kurvans lutning i denna punkt är \( f\,'(x) \) :
För att få fram \( x\, \) bildar vi derivatan, sätter den till \( 1\, \) och beräknar \( x\, \) :
\[\begin{array}{lcll} f(x) & = & 2\,x^2 - 3\,x - 4 \\ f\,'(x) & = & 4\,x - 3 & = & 1 \\ & = & 4\,x & = & 4 \\ & = & x & = & 1 \\ \end{array}\]
\[ f(x) \,=\, 2\,x^2 - 3\,x - 4 \]
\[ f\,'(x) \,=\, 4\,x - 3 \,=\, 1 \]
\[ f\,'(-1) \,=\, 2 \cdot (-1) + 5 \,=\, -2 + 5 \,=\, 3 \]
Således är \( k = 3\, \) och tangentens ekvation blir:
- \[ y \, = \, 3\,x \, + \, m \]
För att få fram \( m\, \) beräknar vi först beröringspunktens koordinater:
- \[ x = -1 \]
- \[ y = f(-1) = (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 1 = 1 - 5 - 1 = -5 \]
Sedan sätter vi in beröringspunktens koordinater i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger på tangenten:
\[\begin{array}{rcl} y & = & 3\,x \, + \, m \\ -5 & = & 3 \cdot (-1) \, + \, m \\ -5 & = & -3 \, + \, m \\ -5 + 3 & = & m \\ - 2 & = & m \end{array}\]
Tangentens ekvation:
- \[ y \, = \, 3\,x \, - \, 2 \]
