Skillnad mellan versioner av "3.5 Extremvärdesproblem"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 23: | Rad 23: | ||
Punkten <math> \, (x,\,y) \, </math> rör sig på parabeln, se figuren. Placera den så | Punkten <math> \, (x,\,y) \, </math> rör sig på parabeln, se figuren. Placera den så | ||
| − | att rektangelns area <math> \, A \, </math> blir | + | att rektangelns area <math> \, A \, </math> blir <strong><span style="color:red">maximal</span></strong>. |
'''a)''' Ställ upp rektangelns area som en funktion av <math> \, x \, </math> dvs <math> \, A(x) \, </math>. | '''a)''' Ställ upp rektangelns area som en funktion av <math> \, x \, </math> dvs <math> \, A(x) \, </math>. | ||
| − | '''b)''' Bestäm <math> \, x \, </math> så att <math> \, A(x) \, </math> | + | '''b)''' Bestäm <math> \, x \, </math> så att <math> \, A(x) \, </math> blir maximal. |
'''c)''' Beräkna rektangelns maximala area. | '''c)''' Beräkna rektangelns maximala area. | ||
| Rad 47: | Rad 47: | ||
:Men <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math> är en funktion av ''två'' variabler som vi inte kan hantera. | :Men <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math> är en funktion av ''två'' variabler som vi inte kan hantera. | ||
| − | : | + | :Därför måste <math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math> skrivas om till en funktion <math> \, A\,(x) \, </math> av endast ''en'' variabel, nämligen <math> \, x </math>. |
| − | : | + | :Detta gör vi genom att eliminera <math> \, {\color{Red} y} \, </math><span style="color:black">:</span> Vi utnyttjar sambandet mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \, </math> som är givet av parabelns ekvation. |
:Rektangelns "rörliga" hörn <math> \, (x,\,{\color{Red} y}) \, </math> måste alltid ligga på parabeln. Därför måste <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> uppfylla <strong><span style="color:red">parabelns ekvation</span></strong><span style="color:black">:</span> | :Rektangelns "rörliga" hörn <math> \, (x,\,{\color{Red} y}) \, </math> måste alltid ligga på parabeln. Därför måste <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> uppfylla <strong><span style="color:red">parabelns ekvation</span></strong><span style="color:black">:</span> | ||
| − | + | <table> | |
| − | <div style="border:1px solid black; | + | <tr> |
| + | <td><div style="border:1px solid black; | ||
display:inline-block !important; | display:inline-block !important; | ||
margin-left: 50px !important; | margin-left: 50px !important; | ||
padding:10px 10px 10px 10px; | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
| − | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 </math></strong></div> | + | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 </math></strong></div></td> |
| − | + | <td><math> \qquad </math></td> | |
| − | + | <td>Detta samband kallas för problemets <strong><span style="color:red">bivillkor</span></strong>.</td> | |
| − | + | </tr> | |
| + | </table> | ||
==== <b><span style="color:#931136">Bivillkor för ett extremvärdesproblem</span></b> ==== | ==== <b><span style="color:#931136">Bivillkor för ett extremvärdesproblem</span></b> ==== | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
| − | Ett extremvärdesproblems <strong><span style="color:red">bivillkor</span></strong> är ett samband | + | Ett extremvärdesproblems <strong><span style="color:red">bivillkor</span></strong> är ett samband som bestäms av problemets givna geometriska |
| − | + | eller andra föreskrivna egenskaper (eng. ''constraints''), i <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> parabelns ekvation <small><math> \, \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 </math></small>. | |
</div> | </div> | ||
| − | : | + | :<b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b>:s bivillkor är därför parabelns ekvation eftersom punkten <math> \, (x,\,y) \, </math> alltid måste följa parabeln (problemets geometri), se figuren ovan. |
:Bivillkoret används för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> till en funktion av en variabel <math> \, x </math>. | :Bivillkoret används för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> till en funktion av en variabel <math> \, x </math>. | ||
| Rad 78: | Rad 80: | ||
::::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x </math> | ::::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x </math> | ||
| − | :På så sätt får vi en funktion för rektangelns area som endast beror av <math> \, x \, </math>. Denna funktion kallas för problemets <strong><span style="color:red">målfunktion</span></strong>: | + | :På så sätt får vi en funktion för rektangelns area som endast beror av <math> \, x \, </math>. Denna funktion som ska maximeras kallas för problemets <strong><span style="color:red">målfunktion</span></strong>: |
<div style="border:1px solid black; | <div style="border:1px solid black; | ||
| Rad 85: | Rad 87: | ||
padding:10px 10px 10px 10px; | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x </math></strong></div> med definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} </math> | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x </math></strong></div> med definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} </math> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==== <b><span style="color:#931136">Målfunktion för ett extremvärdesproblem</span></b> ==== | ==== <b><span style="color:#931136">Målfunktion för ett extremvärdesproblem</span></b> ==== | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
| − | Ett extremvärdesproblems <strong><span style="color:red">målfunktion</span></strong> är alltid den funktion som ska maximeras eller minimeras. | + | Ett extremvärdesproblems <strong><span style="color:red">målfunktion</span></strong> är alltid den funktion som ska maximeras eller minimeras, i <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> <small><math> \, A\,(x) \, </math></small>. |
---- | ---- | ||
| Rad 101: | Rad 100: | ||
| − | : | + | :<b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b>:s målfunktion <math> \, A\,(x) \, </math> har definitionsintervallet <math> \, 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} </math> därför att arean och därmed <math> \, x \, </math> inte kan bli negativ. |
| − | :Den högra ändan <math> \, \sqrt{10} \, </math> | + | :Den högra ändan <math> \, \sqrt{10} \, </math> är parabelns positiva nollställe (se figuren ovan) dvs lösningen till ekvationen <math> \, \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 </math>. |
---- | ---- | ||
| Rad 498: | Rad 497: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011- | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved. |
Versionen från 1 februari 2016 kl. 16.48
| <-- Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar |
Lektion 34 Extremvärdesproblem I
Lektion 35 Extremvärdesproblem II
Exempel 1 Rektangel i parabel
En rektangel är inbunden i en parabel vars ekvation är given:
Punkten \( \, (x,\,y) \, \) rör sig på parabeln, se figuren. Placera den så att rektangelns area \( \, A \, \) blir maximal.
b) Bestäm \( \, x \, \) så att \( \, A(x) \, \) blir maximal. c) Beräkna rektangelns maximala area. |
|
Lösning:
a) Rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, \, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} \)
- Men \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \) är en funktion av två variabler som vi inte kan hantera.
- Därför måste \( A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \) skrivas om till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \).
- Detta gör vi genom att eliminera \( \, {\color{Red} y} \, \): Vi utnyttjar sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) som är givet av parabelns ekvation.
- Rektangelns "rörliga" hörn \( \, (x,\,{\color{Red} y}) \, \) måste alltid ligga på parabeln. Därför måste \( \, x \, \) och \( \, y \, \) uppfylla parabelns ekvation:
\( \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 \) |
\( \qquad \) | Detta samband kallas för problemets bivillkor. |
Bivillkor för ett extremvärdesproblem
Ett extremvärdesproblems bivillkor är ett samband som bestäms av problemets givna geometriska
eller andra föreskrivna egenskaper (eng. constraints), i Exempel 1 parabelns ekvation \( \, \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 \).
- Exempel 1:s bivillkor är därför parabelns ekvation eftersom punkten \( \, (x,\,y) \, \) alltid måste följa parabeln (problemets geometri), se figuren ovan.
- Bivillkoret används för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler \( \, x \, \) och \( \, y \, \) till en funktion av en variabel \( \, x \).
- Därför sätter vi in parabelns ekvation \( \, \displaystyle {\color{Red} y} = -\,{\, x^2 \over 2} + 5 \, \) i rektangelns area \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) = 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \, \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\):
- \[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]
- På så sätt får vi en funktion för rektangelns area som endast beror av \( \, x \, \). Denna funktion som ska maximeras kallas för problemets målfunktion:
Målfunktion för ett extremvärdesproblem
Ett extremvärdesproblems målfunktion är alltid den funktion som ska maximeras eller minimeras, i Exempel 1 \( \, A\,(x) \, \).
Extremvärdesproblem består i regel av ett bivillkor och en målfunktion.
Bivillkoret används för att reducera målfunktionen till en funktion av endast en variabel.
- Exempel 1:s målfunktion \( \, A\,(x) \, \) har definitionsintervallet \( \, 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} \) därför att arean och därmed \( \, x \, \) inte kan bli negativ.
- Den högra ändan \( \, \sqrt{10} \, \) är parabelns positiva nollställe (se figuren ovan) dvs lösningen till ekvationen \( \, \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 \).
b) För att hitta målfunktionens lokala maximum deriverar vi \( \, A(x) \, \) och bestämmer derivatans nollställen:
|
\( \qquad \) | Derivatans nollställen:
|
\( \qquad \) | \(\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0 \\ & & 10 & = & 3\,x^2 \\ & & {10 \over 3} & = & x^2 \\ & & x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\ & & x_1 & = & 1,83 \\ & & x_2 & = & -1,83 \end{array}\) |
\( \quad\; x_2 = -1,83 \, \) förkastas därför att det ligger utanför målfunktionens definitionsmängd \( \, 0 \leq x \leq \sqrt{10} \), se a).
- Däremot ligger \( \, x_1 = 1,83 \, \) inom definitionsmängden. Vi sätter in \( \, x_1 \, \) i andraderivatan och använder reglerna om max/min:
\( \qquad\quad A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 1,83 \, \).
- För \( \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum.
c) För att bestämma rektangelns maximala area sätter vi in \( \, x = 1,83 \, \) i målfunktionen \( \, A(x) \):
- \[ A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \]
- \[ A(1,83) = -\,1,83^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 \]
- Rektangelns maximala area är \( \, 12,17 \, \).
Exempel 2 Glasskiva (rektangel i triangel)
| En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm:
En glasmästare ska skära ut en rektangulär glasplatta med maximal area ur skivan. a) Formulera problemets bivillkor. b) Ställ upp problemets målfunktion. Ange dess definitionsmängd. c) Bestäm \( \, x \, \) så att glasplattans area \( \, A(x) \, \) maximeras. d) Beräkna glasplattans maximala area. |
 |
Lösning:
a) Vi inför beteckningen \( \; {\color{Red} y} \; \) för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som \( \; A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} \)
För att skriva om funktionen ovan till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \),
måste \( \, {\color{Red} y} \, \) uttryckas med \( \, x \, \), så att \( \, {\color{Red} y} \, \) kan elimineras.
Sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) bestäms av rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa.
Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, se bilden:
| Triangelns hypotenusa blir då en del av en rät linje.
Punkten \( \, (x, y) \, \) rör sig på denna räta linje vars ekvation är:
Lutningen \( \, k \, = \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3} \) Skärningspunkten med \(\,y\)-axeln: \( \quad m \, = \, 20 \) Den räta linjens ekvation blir då problemets bivillkor:
|
|
b) Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan sätts in i \( \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\)
och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av \( \, x \):
- \[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]
c) För att hitta målfunktionens lokala maximum deriverar vi \( \, A(x) \, \) och bestämmer derivatans nollställen:
|
\( \qquad \) | Derivatans nollställen:
|
\( \qquad \) | \(\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\
& & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\
& & {20 \, \cdot \, 3 \over 4} & = & x \\
& & x & = & 15
\end{array}\)
|
\( \, x = 15 \, \) som ligger inom målfunktionens definitionsmängd, sätts in i andraderivatan enligt reglerna om max/min:
\( A''(15) = \displaystyle -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 15 \, \).
För \( \, x = 15 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen ett maximum, dvs rektangelns area blir maximal.
d) Eftersom rektangeln får sin största area för \( \, x = 15 \, \) sätter vi in \( \, x = 15 \, \) i målfunktionen för att få största arean:
- \[ A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]
- \[ A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 \]
Glasplattans största area blir \( \, 150 \, {\rm cm}^2 \, \).
Exempel 3 Konservburk
| En cylinderformad konservburk ska produceras av en bit plåt.
Vi antar att cylinderns begränsningsarea blir \( \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \) efter spill. Vilka mått på burken måste väljas så att volymen blir maximal?
b) Ställ upp problemets målfunktion. c) Bestäm cylinderns radie och höjd så att burkens volym
|
|
d) Ange målfunktionens definitionsmängd. Rita graferna till bivillkoret och målfunktionen. Tolka graferna.
e) Beräkna konservburkens maximala volym.
f) Vilket samband råder mellan cylinderns radie \( \, r \, \) och dess höjd \( \, h \, \) när volymen maximeras?
Lösning:
a) Begränsningsarean \( \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \)
\( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \)
|
|
b) Cylinderns volym \( \, V \, \) är basytan \( \times \) höjden dvs: \( \qquad\qquad\quad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, \)
För att skriva om denna funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel,
sätter vi in bivillkoret från a) i \( \, V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, \) och eliminerar \( \, {\color{Red} h} \, \):
- \[ V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{250 \over \pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \cdot r \, - \, \pi\,r^3 \]
c) Målfunktionen maximeras:
|
\( \qquad \) | Derivatans nollställen:
|
\( \qquad \) | \(\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ & & 250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\ & & {250 \over 3\,\pi} & = & r^2 \\ & & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\ & & r & = & 5,15 \end{array}\) |
\( r_2 = -5,15 \, \) förkastas, för radien kan inte bli negativ. \( \, r = 5,15 \, > \, 0 \, \) sätts in i andraderivatan enligt reglerna om max/min:
\( V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, r = 5,15 \).
För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in \( \, r = 5,15 \, \) i bivillkoret från a):
- \[ h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15 \, = \, 10,30 \]
Cylinderns volym blir maximal för radien \( \quad \boxed{r = 5,15 \; {\rm cm}} \quad \) och höjden \( \quad \boxed{h = 10,30 \; {\rm cm}} \quad \).
d) För att bestämma målfunktionens definitionsmängd tittar undersöker vi bivillkoret: \( \qquad h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \)
Av detta framgår att \( \; r \; \) inte får vara \( \, 0 \, \): \( \; r \, \neq \, 0 \; \). Därför är \( \, 0 \, \) en undre gräns: \( \qquad r \, > \, 0 \)
För att hitta en övre gräns (största möjliga värde) för \( \; r \; \) tittar vi på cylinderns begränsningsarea:
- \[ \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \]
Pga begränsningsareans konstanta värde \( \, 500 \, \) blir cylinderns radie störst när höjden blir \( \, 0 \, \).
Därför får vi radiens störst möjliga värde om vi i formeln ovan väljer \( \, h=0 \, \):
- \[ \, h = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad A \, = \, 2\,\pi \cdot \left(r\right)\,^2 \, = \, 500 \qquad \Longrightarrow \qquad r \, = \, \sqrt{500 \over 2\,\pi} \, = \, 8,92 \]
Därmed blir målfunktionens definitionsmängd:
- \( 0 \; < \; r \; \leq \; 8,92 \)
Grafen till vänster visar bivillkoret \( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \) och till höger målfunktionen \( V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 \), båda med definitionsmängden ovan.
Målfunktionens graf till höger bekräftar det algebraiska resultatet från c), nämligen att volymen blir maximal för \( \, r = 5,15 \).
Bivillkorets graf till vänster bekräftar att för \( \, r = 5,15 \, \) höjden blir \( \, \approx \, 10 \) och dessutom att \( \, r \, \) inte kan bli större än \( \, 8,92 \).
e) Resultaten från c) sätts in i målfunktionen för att få cylinderns största volym:
- \[ V(5,15) \, = \, \pi \, \cdot 5,15^2 \, \cdot 10,30 \, = \, 858,23 \]
Konservburkens maximala volym blir \( \; 858,23 \, {\rm cm}^3 \; \).
f) Följande samband råder mellan cylinderns radie \( \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; \) och dess höjd \( \; h = 10,30 \, {\rm cm}\)
när volymen till en cylinder med en begränsningsarea på \( \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \), maximeras:
- \( 2 \; r \; = \; h \)
Återstår frågan som är föremål för undersökning i övning 9, om samma samband även råder generellt mellan radien \( \; r \; \) och höjden \( \; h \; \) för alla konservburkar med vilken begränsningsarea som helst och maximal volym, nämligen:
- Diametern \( \; = \; \) Höjden
En annan intressant frågeställning är:
Råder även sambandet ovan om man utgår från en konservburk med fast given volym vars materialåtgång ska minimeras?
En närmare undersökning liknande lösningen till Exempel 3 kommer att visa att detta är fallet.
Dvs sambandet ovan är alltid optimalt ur ekonomisk synpunkt.
Ett ekonomiskt exempel
Se övning 7.
Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
