Skillnad mellan versioner av "1.1 Om tal"

Aritmetik som är vårt första kapitel i denna kurs betyder läran om talen. Men vad är ett tal egentligen? Titta på bilderna nedan:

Självfallet är tre katter inte lika med tre hundar. Men fundera: Vad är det gemensamma hos tre katter och tre hundar?

\(\qquad\) \(\qquad\) \(\qquad\) \(\qquad\)

Om vi bortser från själva katter och hundar så är det antalet tre som är gemensamt för båda mängder. Och just detta gemensamma kallas för talet 3.

Talet \( \, {\color{Red} n} \, \) kan alltså definieras som det enda gemensamma hos mängder som innehåller precis \( \, {\color{Red} n} \, \) element, dvs antalet saker och ting som finns i en mängd.

Men att definiera tal med antal är ju bara att byta ut ett okänt ord mot ett annat, vilket inte löser problemet att förstå talbegreppet. Det är i själva verket tankeprocessen bakom räknandet, som leder till talbegreppet. Att räkna antalet saker och ting i en mängd har vi lärt oss som barn. Men hur det gick till har vi antingen glömt eller aldrig brytt oss om.

Det är för att tankeprocessen bakom räknandet i regel pågår omedvetet: Vi bortser från skillnaderna mellan två mängder av objekt (katter och hundar). Kvar blir det gemensamma (talet tre) hos dem. Denna process kallas för:

Vi brukar räkna antalet saker och ting i vår omgivning med den enklaste typen av tal, de positiva heltalen:\(\qquad\qquad\qquad\qquad\) Dvs vi räknar antal objekt i en mängd, t.ex. fingrarna i våra händer. Alla positiva tal är \( \, > 0 \), medan själva \( \, > 0 \, \) får man genom att dra av två lika stora positiva tal från varandra, t.ex. \( \, 4 - 4 = 0 \, \). Så leder de positiva heltalen tillsammans med \( \, 0 \, \) en ny talmängd: Naturliga tal:        Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre kommer man till negativa tal, t.ex. \( \, 4 - 5 = -1 \). Så uppstår ytterligare en ny talmängd: Heltal:        Division av två heltal med varandra, t.ex. \( \, 1 / 3 = \displaystyle{1 \over 3} \, \) leder till bråktalen, även kallade:

De olika taltyperna är delmängder av varandra:

Rationella tal:       

Alla rationella tal kan skrivas som bråk och därmed som decimaltal. Dock finns decimaltal som inte kan skrivas som bråk.

Exempel:   Drar man roten ur \( \, 2 \, \) kommer man till: \( \qquad\qquad \sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots \).

\( \sqrt{2} \, \) kan inte anges i bråkform \(-\) är inget rationellt tal \(-\) därför att det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period).

Sådana tal kallas för irrationella, dvs decimaltal med en icke-periodisk decimalutveckling.

\( \sqrt{2} \, \) och talet \( \, \pi \, \) är exempel på irrationella tal. Tillsammans med dem bildas den nya taltypen:

Men det finns ytterligare en talmängd som är mer omfattande än de reella talen. Löser man t.ex. ekvationen \( x^2 + 1 = 0 \) kommer man till: \( \; x = \sqrt{-1} \) som inte är något reellt tal därför att det inte finns något reellt tal som multiplicerat med sig själv ger \( \, -1 \).

En ny symbol \( \; i \, = \, \sqrt{-1} \; \) med egenskapen \( \; i\,^2 \, = \, -1 \; \) introduceras med vars hjälp den nya taltypen definieras till:

Alla talmängder bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som inledningsvis introducerades med talbegreppet \(-\) fast på högre nivå.

Att räkna med tal är en sak, att skriva upp och visa tal en helt annan. För att kunna kommunicera tal måste vi ge talen, som ju är resultat av abstraktion, ändå en konkret form som att alla förstår.

Man pratar om representation av tal. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att skriva eller representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över är det s.k. decimala positionssystemet. Så kallas vårt talsystem som vi dagligen använder.

Det har visat sig genom historien att detta är det enklaste sättet att representera tal. Det känns naturligt att ta sina \( \, 10 \, \) fingrar till hjälp när man räknar i huvudet, vilket endast är möjligt om talsystemet är decimalt:

Decimalt heter vårt talsystem därför att det bygger på basen \( \, 10 \, \) (på latin: deci). Det finns andra talsystem som bygger på andra baser som behandlas senare i Talsystem med olika baser.

Dvs både heltalen större än \( \, 9 \, \), alla negativa tal och alla decimaltal kan skrivas endast med hjälp av de första \( \, 10 \, \) naturliga talen (samt minustecknet och decimalkommat). Detta uppnås genom att ge siffrorna \( \, 0\)-\( \, 9\):s placering i talen en betydelse:

Positionssystem heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna \( \, 0\)-\(9 \, \) i talet som bestämmer siffrornas värde.

Siffran \( \, 2 \, \) längst till höger är en entalssiffra eller kort ett ental och har det minsta värdet, nämligen \( \, 2 \cdot 1 = 2 \). Sedan följer de andra med stigande värden.

Nästa siffra \( \, 4 \, \) till vänster är en tiotalssiffra eller kort ett tiotal och har värdet \( \, 4 \cdot 10 = 40 \).

Nästa siffra \( \, 1 \, \) till vänster är en hundratalssiffra eller kort ett hundratal och har värdet \( \, 1 \cdot 100 = 100 \).

Siffran \( \, 7 \, \) längst till vänster är en tusentalssiffra eller kort ett tusental och har det högsta värdet, nämligen \( \, 7 \cdot 1\,000 = 7\,000 \).

Man inser regeln:

Jämför med regeln för decimaltal.

Man säger att \( \, {\color{Red} {312}} \, \) är ett sätt \(-\) det decimala positionssystemets sätt \(-\) att representera dvs visa talets värde.

I beräkningen av talets värde i Exempel 2 har vi istället för \( \, 100 \, \) skrivit \( \, 10^2 \, \), vilket betyder \( \, 10 \cdot 10 \, \), istället för \( \, 10 \, \) skrivit \( \, 10^1 \, \) och istället för \( \, 1 \, \) skrivit \( \, 10^0 \, \). Detta för att visa att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra \( \, 0\)-\(9 \, \)) gånger \( \, 10\)-potenser". Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet som har basen \( \, 10 \). På samma sätt kan i andra talsystem med andra baser talens värde beräknas \(-\) bara att basen \( \, 10 \, \) byts ut mot andra baser.

Uppgifter av typ Exempel 2 brukar formuleras kort så här:

De fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division har vi lärt oss i grundskolan. De är räkneoperationer. Deras resultat kallas för: