Skillnad mellan versioner av "3.5 Lösning 4c"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 25: | Rad 25: | ||
<math> x = 4 \, </math> är <math> P</math><span style="color:black">:</span>s <math> x</math>-koordinat. För att få <math> y</math>-koordinaten sätter vi in <math> \, x \, = \, 4 \, </math> i den parabelns ekvation<span style="color:black">:</span> | <math> x = 4 \, </math> är <math> P</math><span style="color:black">:</span>s <math> x</math>-koordinat. För att få <math> y</math>-koordinaten sätter vi in <math> \, x \, = \, 4 \, </math> i den parabelns ekvation<span style="color:black">:</span> | ||
| − | ::<math> y = 6\,x - | + | ::<math> y \, = \, 6\,x \, - \, x^2 </math> |
| − | ::<math> y = 6 \cdot | + | ::<math> y = 6 \cdot 4 - 4^2 \, = \, 24 \, - 16 \, = \, 8 </math> |
| − | För <math> \displaystyle \, P\, | + | För <math> \displaystyle \, P\, (4,\,8) \, </math> blir triangelns area maximal. |
Versionen från 1 februari 2015 kl. 20.22
Vi deriverar målfunktionen:
- \[ A\,(x) \, = \, 3\,x^2 \, - \, {1 \over 2}\,x^3 \]
- \[ A'(x) \, = \, 6\,x \, - \, {3 \over 2}\,x^2 \]
- \[ A''(x) \, = \, 6 \, - \, 3\,x \]
Derivatans nollställe:
- \[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & 6\,x \, - \, {3 \over 2}\,x^2 & = & 0 \\ & & 3\,x \cdot (2 \, - \, {1 \over 2}\,x) & = & 0 \\ & & x_1 & = & 0 \\ & & 2 \, - \, {1 \over 2}\,x & = & 0 \\ & & 2 & = & {1 \over 2}\,x \\ & & x_2 & = & 4 \end{array}\]
För \( \, x_1 = 0 \, \) blir arean \( \, A(0) = 0 \, \) och därmed minimal.
För \( \, x_2 = 4 \, \) ger andraderivatans tecken:
\( A''(4) = -18\,x \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, x = 0,4 \, \).
\( x = 4 \, \) är \( P\):s \( x\)-koordinat. För att få \( y\)-koordinaten sätter vi in \( \, x \, = \, 4 \, \) i den parabelns ekvation:
- \[ y \, = \, 6\,x \, - \, x^2 \]
- \[ y = 6 \cdot 4 - 4^2 \, = \, 24 \, - 16 \, = \, 8 \]
För \( \displaystyle \, P\, (4,\,8) \, \) blir triangelns area maximal.
