Skillnad mellan versioner av "3.4 Lösning 4a"

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                                               x_1  +  x_2 &    =    & -(-4) = 4 \\
 
                                               x_1  +  x_2 &    =    & -(-4) = 4 \\
 
                                                             &\Downarrow&          \\
 
                                                             &\Downarrow&          \\
−
                                                         x_1 &    =    & 3         \\
+
                                                         x_1 &    =    & 1         \\
−
                                                         x_2 &    =    & 5
+
                                                         x_2 &    =    & 3
−
          \end{array}</math>
+
        \end{array}</math>
  
−
::Dessa är <math> x</math>-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.
+
<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 1} \, </math><span style="color:black">:</span>
  
−
'''Steg 4'''&nbsp;&nbsp; Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan<span style="color:black">:</span>
+
::<math> f''(x) \, = \, -2\,x \, + \, 4 </math>
  
−
<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
+
::<math> f''(1) \, = \, -2\cdot 1 + 4 = 2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math>
  
−
:::<math> f''(x) \, = \, 6\,x - 24 </math>
+
<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_2 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
  
−
:::<math> f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>
+
::<math> f''(3) \, = \, -2\cdot 3 + 4 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math>
  
−
<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_2 = 5} \, </math><span style="color:black">:</span>
+
::<math> f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>
−
 
+
−
:::<math> f''(5) \, = \, 6\cdot 5 - 24 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math>
+
−
 
+
−
:::<math> f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>
+
  
 
'''Steg 5'''&nbsp;&nbsp; Beräkna de lokala extrempunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span>
 
'''Steg 5'''&nbsp;&nbsp; Beräkna de lokala extrempunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span>
  
−
:::<math> f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 </math>
+
::<math> f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 </math>
  
−
:::<math> f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>
+
::<math> f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>
  
−
:::<math> f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>
+
::<math> f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>

Versionen från 22 januari 2015 kl. 09.53

\[\begin{array}{rcl} f(x)&=&-\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 \\ f'(x)&=&-\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3 \\ f''(x)&=&-2\,x \, + \, 4 \end{array}\]
\[\begin{array}{rcl} -\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3 & = & 0 \\ x^2 \, - \, 4\,x \, + \, 3 & = & 0 \\ \end{array}\]
\[ \begin{array}{rcl} {\rm Vieta:} \quad x_1 \cdot x_2 & = & 3 \\ x_1 + x_2 & = & -(-4) = 4 \\ &\Downarrow& \\ x_1 & = & 1 \\ x_2 & = & 3 \end{array}\]

\( {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 1} \, \):

\[ f''(x) \, = \, -2\,x \, + \, 4 \]
\[ f''(1) \, = \, -2\cdot 1 + 4 = 2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \]

\( {\color{White} x} \qquad \underline{x_2 = 3} \, \):

\[ f''(3) \, = \, -2\cdot 3 + 4 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \]
\[ f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} \]

Steg 5   Beräkna de lokala extrempunkternas \( y\)-koordinater:

\[ f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \]
\[ f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} \]
\[ f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \]
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