Skillnad mellan versioner av "2.4 Lösning 10b"

Versionen från 19 oktober 2014 kl. 15.22

Eftersom tangenten är parallell till linjen \( y = x - 4\, \) som har lutningen 1, är även tangentens lutningen:

\[ k \, = \, 1 \]

Å andra sidan har tangenten samma lutning som själva kurvan    \( y = f(x) = 2\,x^2 - 3\,x - 4 \)    i den okända beröringspunkten    \( x \). Kurvans lutning i denna punkt är   \( f\,'(x) \) :

För att få fram \( x\, \) bildar vi derivatan, sätter den till \( 1\, \) och beräknar \( x\, \) :

\[\begin{array}{lcll} f(x) & = & 2\,x^2 - 3\,x - 4 \\ f\,'(x) & = & 4\,x - 3 & = & 1 \\ & = & 4\,x & = & 4 \\ & = & x & = & 1 \\ \end{array}\]

\[ f(x) \,=\, 2\,x^2 - 3\,x - 4 \]

\[ f\,'(x) \,=\, 4\,x - 3 \,=\, 1 \]

\[ f\,'(-1) \,=\, 2 \cdot (-1) + 5 \,=\, -2 + 5 \,=\, 3 \]

Således är   \( k = 3\, \)   och tangentens ekvation blir:

\[ y \, = \, 3\,x \, + \, m \]

För att få fram \( m\, \) beräknar vi först beröringspunktens koordinater:

\[ x = -1 \]

\[ y = f(-1) = (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 1 = 1 - 5 - 1 = -5 \]

Sedan sätter vi in beröringspunktens koordinater i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger på tangenten:

\[\begin{array}{rcl} y & = & 3\,x \, + \, m \\ -5 & = & 3 \cdot (-1) \, + \, m \\ -5 & = & -3 \, + \, m \\ -5 + 3 & = & m \\ - 2 & = & m \end{array}\]

Tangentens ekvation:

\[ y \, = \, 3\,x \, - \, 2 \]