Skillnad mellan versioner av "2.4 Lösning 7"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 22: Rad 22:
  
 
::<math> x = -1 </math>
 
::<math> x = -1 </math>
::<math> y = f(-1) = (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 1 = 1 - 5 - 1 = </math>
+
::<math> y = f(-1) = (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 1 = 1 - 5 - 1 = -5 </math>
  
 
Beröringspunkten ligger på tangenten:
 
Beröringspunkten ligger på tangenten:
  
:<math>\begin{array}{rcl}  y & = & -6\,x \, + \, m         \\
+
:<math>\begin{array}{rcl}  y & = & 3\,x \, + \, m           \\
                          9 & = & -6 \cdot (-3) \, + \, m \\
+
                          -5 & = & 3 \cdot (-1) \, + \, m   \\
                          9 & = & 18 \, + \, m            \\
+
                          -5 & = & -3 \, + \, m            \\
                       9 - 18 & = & m                        \\
+
                       -5 + 3 & = & m                        \\
                         - 9 & = & m
+
                         - 2 & = & m
 
       \end{array}</math>
 
       \end{array}</math>
  
 
Tangentens ekvation:
 
Tangentens ekvation:
  
::<math> y \, = \, -6\,x \, - \, 9 </math>
+
::<math> y \, = \, 3\,x \, - \, 2 </math>

Versionen från 18 oktober 2014 kl. 12.33

Tangenten är en rät linje. Räta linjens ekvation i \(\,k\)-form är:

\[ y \, = \, k\,x \, + \, m \]

Tangenten till kurvan    \( y = f(x) = x^2 + 5 x - 1\, \)    i    \( x = -1 \)    har samma lutning \(\,k\) som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i   \( x = -1 \)   är   \( f\,'(-1) \) :

\[ k \, = \, f\,'(-1) \]

Därför bildar vi derivatan \( f\,'(x) \) och beräknar \( f\,'(-1) \) :

\[ f(x) \,=\, x^2 + 5 x - 1\, \]

\[ f\,'(x) \,=\, 2\,x + 5 \]

\[ f\,'(-1) \,=\, 2 \cdot (-1) + 5 \,=\, -2 + 5 \,=\, 3 \]

Således är   \( k = 3\, \)   och tangentens ekvation blir:

\[ y \, = \, 3\,x \, + \, m \]

För att få fram \( m\, \) beräknar vi beröringspunktens koordinater:

\[ x = -1 \]
\[ y = f(-1) = (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 1 = 1 - 5 - 1 = -5 \]

Beröringspunkten ligger på tangenten:

\[\begin{array}{rcl} y & = & 3\,x \, + \, m \\ -5 & = & 3 \cdot (-1) \, + \, m \\ -5 & = & -3 \, + \, m \\ -5 + 3 & = & m \\ - 2 & = & m \end{array}\]

Tangentens ekvation:

\[ y \, = \, 3\,x \, - \, 2 \]