Skillnad mellan versioner av "1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner"

Bestäm för varje graf om den visar en diskret eller en kontinuerlig funktion.

Ange även om och i så fall för vilka \( x \, \) funktionerna har diskontinuiteter.

Motivera dina svar.

a) Rita grafen till den diskreta funktionen

\[ y = x^2\, \]

vars definitionsmängd är alla heltal \( x\, \) mellan \( -5\, \) och \( 5\, \) dvs \( -5 \leq x \leq 5 \).

Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper.

b) Rita med grafräknaren grafen till den kontinuerliga funktionen

\[ y = x^2\, \]

vars definitionsmängd är alla reella tal \( x\, \) mellan \( -5\, \) och \( 5\, \) dvs \( -5 \leq x \leq 5 \).

Fundera själv vilka min- och max-värden du borde ange för räknarens display (WINDOW-knappen).

Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten \( 1\, \).

a) Är funktionen \( f(x)\, \) diskret eller kontinuerlig?

b) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen \( f(x)\, \) för \( x = 4\, \)?

c) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) inte definierad i det ritade intervallet?

d) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) inte kontinuerlig i det ritade intervallet?

Motivera dina svar.

Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten \( 1\, \).

a) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen \( f(x)\, \) för \( x = 4\, \)?

b) Är funktionen \( f(x)\, \) definierad för alla \( x\, \) i det ritade intervallet?

c) Är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig för alla \( x\, \) i det ritade intervallet?

d) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig och för vilka är den diskontinuerlig?.

Motivera dina svar.

I teoridelen, Exempel 3, beräknades de 12 första fibonaccitalen med hjälp av Fibonaccis funktion.

a) Använd samma funktion för att komplettera beräkningen med ytterligare 12 fibonaccital som följer efter de 12 första, dvs beräkna \( F(13) - F(24)\, \) för att slutligen kunna besvara frågan: Hur många kaninpar kommer att finnas om två år?

b) I slutet av Exempel 3 visades grafen för de 12 första fibonaccitalen. Rita Fibonaccis diskreta funktion för fibonaccitalen \( F(12) - F(24)\, \) .

Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper

I teoridelen, Exempel 3, ställdes upp en tabell med två kolumner över de 8 första fibonaccitalen. Använd Fibonaccis funktion för att komplettera denna tabell med alla fibonaccital vi beräknat hittills, både i Exempel 3 och i övn. 5, så att du får en fullständig tabell över de första 24 fibonaccitalen \( F(1) - F(24)\, \).

Lägg till denna tabell en tredje kolumn med rubriken \( F(n-1) \over F(n)\, \).

Sätt in i den första cellen i denna kolumn värdet \( 0\,\).

Sätt in i den andra cellen värdet \( F(1) / F(2)\, = 1/1 = 1\, \)

Sätt in i den tredje cellen värdet \( F(2) / F(3)\, = 1/2 = 0,5\, \)

Sätt in i den fjärde cellen värdet \( F(3) / F(4)\, = 2/3 = 0,666\cdots\, \)

\[ \cdots \]

Fortsätt med att fylla i cell nr \( n\, \) i den tredje kolumnen med kvoten \( {F(n-1) \over F(n)}, \; n = 6, 7, 8, \cdots , 24\). Använd 8 decimaler.

a) Mot vilket värde går kvoten \( F(n-1) \over F(n)\, \) när \( n\, \) växer?

Det värde du har hittat för kvoten ovan är det s.k. gyllene snittets proportionella förhållande eller skala. Lös b) för att få reda på vad detta innebär:

b) En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är \( 1\, \) och den kortare delen är \( x\, \):

Om delningen är vald så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen som denna bit förhåller sig till den kortare delen, så är sträckan delad enligt gyllene snittet. Översatt till ekvation blir det:

\[ {\color{White} x} {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} \]

Lös denna ekvation.

c) Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet?

Rita grafen till följande funktioner.

Avgör om funktionerna är kontinuerliga för alla reella \( x\, \). Om inte, ange för vilka \( x\, \) de är diskontinuerliga samt diskontuiteternas typ.

a) \( {\color{white} x} f(x) = {x^2 - 3\,x - 4 \over x - 2} \)

b) \( {\color{white} x} g(x) = {x^2 - 9 \over x-3} \)

Varför visar grafen till \( g(x)\, \) en rät linje? Är \( g(x)\, \) en linjär funktion?

Kan man av grafen dra slutsatsen att \( g(x)\, \) är kontinuerlig för alla \( \,x\)?

Om inte, skriv om \( g(x)\, \) så att det uppstår en funktion som är kontinuerlig för alla \( x\, \).

c) \( {\color{white} x} h(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 1 & \mbox{om } x \leq 2 \\ 5 & \mbox{om } x > 2 \\ \end{cases} \)

d) \( {\color{white} x} k(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 1 & \mbox{om } x \leq 2 \\ 6 & \mbox{om } x > 2 \\ \end{cases} \)

Följande graf till en funktion \( y = f(x)\, \) är given:

a) Ställ upp ett funktionsuttryck för \( f(x)\, \).

Utnyttja möjligheten att för en och samma funktion ställa upp olika uttryck i olika delar av funktionens definitionsmängd.

b) Undersök med hjälp av den allmänna definitionen för kontinuerliga funktioner om \( f(x)\, \) är kontinuerlig för \( x = 0\, \).