Skillnad mellan versioner av "1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Exempel 2 Kontinuerlig prisfunktion för ägg efter vikt)
m
 
(579 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen| <<&nbsp;&nbsp;Förra demoavsnitt]]}}
 +
{{Selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.5 Repetitionsuppgifter till 1.1 - 1.4|Repetitionsuppgifter till 1.1 - 1.4]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.5 Internetlänkar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Internetlänkar]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 +
<!-- {{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata|Nästa demoavsnitt <math> \pmb{\to} </math>]]}} -->
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
 +
<big>
 +
I matematiken betyder <b><span style="color:red">diskret</span></b> åtskild, avgränsad eller separerad och är motsatsen till kontinuerlig.
  
−
[[Media: Lektion 8 Kontin. & diskreta funktioner Ruta.pdf|Lektion 8 Kontinuerliga & diskreta funktioner]]
+
Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade från sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 3 \, </math> och inte heller mellan de andra heltalen.
  
−
__TOC__
+
"Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Därför är t.ex. "antal ägg" diskret: Det finns inga halva eller bråkdel ägg.
 +
</big>
  
−
== Exempel 1 Diskret prisfunktion för ägg efter antal ==
 
  
−
En torghandlare säljer ägg för 3 kr per styck.  
+
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Diskret funktion</span></b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
<big>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>En torghandlare säljer ägg för <math> \, 3 </math> kr per styck.
  
−
a) Ställ upp en funktion som beskriver priset <math> y \, </math> kr för <math> x \, </math> st ägg.
+
<math> {\color{Red} 1} \; </math> ägg kostar <math> {\color{Red} 1} \cdot 3 \;{\rm kr,} </math>
  
−
b) Rita grafen till funktionen i a).
+
<math> {\color{Red} 2} \; </math> ägg kostar <math> {\color{Red} 2} \cdot 3 \;{\rm kr,} </math>
  
−
'''Lösning:'''
+
<math> {\color{Red} 3} \; </math> ägg kostar <math> {\color{Red} 3} \cdot 3 \;{\rm kr,} \qquad \cdots </math>
  
−
a) <math> {\color{White} x} {\color{Red} 1} \, </math> ägg kostar <math> {\color{Red} 1} \cdot 3 \;{\rm kr,} </math>
+
<math> {\color{Red} n} \; </math> ägg kostar <math> {\color{Red} n} \cdot 3 \;{\rm kr} </math> eller <math> 3\;{\color{Red} n} \;{\rm kr.} </math>
  
−
:<math> {\color{Red} 2} \, </math> ägg kostar <math> {\color{Red} 2} \cdot 3 \;{\rm kr,} </math>
+
Därför är prisfunktionen:
  
−
:<math> {\color{Red} 3} \, </math> ägg kostar <math> {\color{Red} 3} \cdot 3 \;{\rm kr,} </math>
+
<div class="smallBoxVariant"><math> y = 3\;{\color{Red} n} \, , \quad
 +
{\rm där } \quad {\color{Red} n}\,= {\rm {\color{Red} {heltal}}\,.} </math></div>
 +
</td>
 +
  <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; [[Image: Diskret_prisfunktion_agg.jpg]]</td>
 +
  <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; Grafen till prisfunktionen visar priset <math> y \, </math> i kr (vertikal axel)
  
−
:<math> {\color{White} x} \qquad \cdots </math>
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; som en funktion av <b><span style="color:red">antalet</span></b> <math> {\color{Red} n} \, </math> (horisontell axel).
  
−
:<math> {\color{Red} x} \, </math> ägg kostar <math> {\color{Red} x} \cdot 3 \;{\rm kr} </math> eller <math> 3\;{\color{Red} x} \;{\rm kr.} </math>
 
  
−
Därför är prisfunktionen:
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; Grafen till en diskret funktion ritas med <b><span style="color:red">separerade</span></b>
  
−
::<math> y = 3\;{\color{Red} x} </math>
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; <b><span style="color:red">punkter</span></b> och inte med en genomdragen linje.
  
−
b) Grafen till Funktionen <math> y = 3\;{\color{Red} x} </math> visar priset <math> y \, </math> som en funktion av antalet <math> x \, </math>:
 
  
−
[[Image: Diskret prisfunktion ägg 70.jpg]]
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; För att rita en diskret funktions graf måste man
  
−
Funktionen <math> y = 3\;{\color{Red} x} </math> med <math> {\color{Red} x} \, </math> <strong><span style="color:red"> = antal ägg </span></strong> är ett exempel på en <strong><span style="color:red">diskret</span></strong> funktion.  
+
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; lyfta pennan.
 +
  </td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
<math> \quad\; y \, </math> är priset i kr. <math> \quad\; \color{Red} n \, </math> är antalet ägg.
  
−
I matematiken betyder <strong><span style="color:red">diskret</span></strong> distinkt dvs avgränsat, separerat och är motsatsen till kontinuerlig. För att rita en diskret funktions graf måste man lyfta pennan minst en gång. Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade till sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan 2 och 3 osv. "Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Samma gäller förstås för "antal ägg". Det finns inga halva eller bråkdel ägg.
+
<math> y = 3\;{\color{Red} n} </math> är en <div class="smallBox"><b><span style="color:red">diskret funktion</span></b></div> &nbsp;&nbsp; därför att dess <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är en <div class="smallBox"><b><span style="color:red">diskret mängd</span></b></div> &nbsp;&nbsp; nämligen alla <b><span style="color:red"> heltal </span></b> <math> {\color{Red} n} \geq 0\, </math>.  
 +
</big>
 +
</div>
  
−
Funktionen <math> y = 3\;{\color{Red} x} </math> är diskret därför att dess definitionsmängd: alla <math> {\color{Red} x} \geq 0\, </math> med <math> {\color{Red} x} \, </math> <strong><span style="color:red"> = antal ägg </span></strong> är en diskret mängd. Därför är dess graf ritad med separerade prickar och inte med en genomdragen linje.
 
  
−
== Exempel 2 Kontinuerlig prisfunktion för ägg efter vikt ==
+
<big>
 +
I matematiken betyder <b><span style="color:red">kontinuerlig</span></b> sammanhängande och är motsatsen till diskret.
  
−
En annan torghandlare säljer ris för 30 kr per kilo.  
+
De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal - hur nära varandra de än mår vara - finns alltid oändligt många andra tal.  
  
−
a) Ställ upp en funktion som beskriver priset <math> y \, </math> kr för <math> x \, </math> kilo.
+
En mängd vätska t.ex. är kontinuerlig: Det finns halva eller alla möjliga bråkdelar av mängden.
 +
</big>
  
−
b) Rita grafen till funktionen i a).
 
  
−
'''Lösning:'''
+
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Kontinuerlig funktion</span></b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
<big>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
 +
En annan torghandlare säljer färskpressad
  
−
a) <math> {\color{White} x} {\color{Red} 1} \, </math> kg ris kostar <math> {\color{Red} 1} \cdot 30 \;{\rm kr,} </math>
+
granatäppeljuice för <math> \, 30 </math> kr per liter.
  
−
:<math> {\color{Red} 2} \, </math> kg ris kostar <math> {\color{Red} 2} \cdot 30 \;{\rm kr,} </math>
+
Av samma anledning som i <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> är
  
−
:<math> {\color{Red} 3} \, </math> kg ris kostar <math> {\color{Red} 3} \cdot 30 \;{\rm kr,} </math>
+
prisfunktionen här:
  
−
:<math> {\color{White} x} \qquad \cdots </math>
+
<div class="smallBoxVariant"><math> y = 30\;{\color{Red} x} \, , \quad
 +
{\rm där } \quad {\color{Red} x}\,= {\rm {\color{Red} {reellt\;tal}}\,.} </math>
 +
</div>
 +
<math> \quad\; y \, </math> är priset i kr. <math> \quad\;\;\; \color{Red} x \, </math> är mängden i liter.
 +
 
 +
<math> y = 30\;{\color{Red} x} </math> är en <div class="smallBox"><b><span style="color:red">kontinuerlig funktion</span></b></div>
 +
</td>
 +
  <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; [[Image: Kontinuerlig_prisfunktion_ris.jpg]]</td>
 +
  <td> &nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; Grafen till Funktionen <math> y = 30\;{\color{Red} x} </math> visar priset <math> y \, </math>
 +
 
 +
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; som en funktion av <b><span style="color:red">mängden</span></b> <math> {\color{Red} x} </math> (i liter).
 +
 
 +
 
 +
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; Grafen till en kontinuerlig funktion ritas med en
 +
 
 +
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; <b><span style="color:red">genomdragen linje</span></b> och inte med separerade punkter.
 +
 
 +
 
 +
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; En kontinuerlig funktions graf kan man rita
 +
 
 +
&nbsp;  &nbsp; &nbsp;  &nbsp; utan att lyfta pennan.
 +
  </td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
därför att dess <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är en <div class="smallBox"><b><span style="color:red">kontinuerlig mängd</span></b></div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;nämligen alla <b><span style="color:red"> reella tal</span></b> <math> {\color{Red} x} \geq 0\, </math>.
 +
</big>
 +
</div>
 +
 
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
 +
Kontinuerliga funktioner används ofta som matematiska modeller för att beskriva verkligheten. Men i vissa fall föredrar man diskreta modeller som studeras i en speciell disciplin
 +
 
 +
som heter [http://sv.wikipedia.org/wiki/Diskret_matematik <b><span style="color:blue">Diskret matematik</span></b>]. Talteori, mängdlära  och kombinatorik är typiska ämnen i Diskret matematik som behandlas i Matte 5.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">[[Fibonaccis talföljd|<span style="color:blue">Exempel 3 Fibonaccis talföljd</span>]] </span></b> ==
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=SKRjz2aTqCY
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=cvnG0YWPLjQ
 +
 
 +
http://www.sigma8.se/dokument/TabyFriskola_Amnesrapport_OK_2012.pdf
 +
 
 +
http://www03.edu.fi/svenska/oppimateriaalit/arkimatematiikkaa/fibona.html
 +
 
 +
http://paranormal.se/topic/det_gyllene_snittet.html
 +
 
 +
http://www.math.fau.edu/MathCircle_at_FAU/MC130713Problems.pdf
  
−
:<math> {\color{Red} x} \, </math> kg ris kostar <math> {\color{Red} x} \cdot 30 \;{\rm kr} </math> eller <math> 30\;{\color{Red} x} \;{\rm kr.} </math>
 
  
−
Därför är prisfunktionen:
 
  
−
::<math> y = 30\;{\color{Red} x} </math>
 
  
−
b) Grafen till Funktionen <math> y = 30\;{\color{Red} x} </math> visar priset <math> y \, </math> som en funktion av vikten <math> x \, </math>:
 
  
−
[[Image: Kontinuerlig prisfunktion ägg 70.jpg]]
 
  
−
Funktionen <math> y = 30\;{\color{Red} x} </math> med <math> {\color{Red} x} \, </math> <strong><span style="color:red"> = kg ägg </span></strong> är ett exempel på en <strong><span style="color:red">kontinuerlig</span></strong> funktion.
 
  
−
I matematiken betyder <strong><span style="color:red">kontinuerlig</span></strong> sammanhängande och är motsatsen till diskret. En kontinuerlig funktions graf kan man rita utan att lyfta pennan. De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal - hur nära varandra de än mår vara - finns alltid oändligt många andra tal.
 
  
−
Funktionen <math> y = 30\;{\color{Red} x} </math> är kontinuerlig därför att dess definitionsmängd: alla <math> {\color{Red} x} \geq 0\, </math> med <math> {\color{Red} x} \, </math> <strong><span style="color:red"> = kg ägg </span></strong> är en kontinuerlig mängd. Därför är dess graf ritad med en genomdragen linje, utan att lyfta pennan.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 1 juli 2024 kl. 11.25

        <<  Förra demoavsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa demoavsnitt  >>      


I matematiken betyder diskret åtskild, avgränsad eller separerad och är motsatsen till kontinuerlig.

Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade från sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 3 \, \) och inte heller mellan de andra heltalen.

"Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Därför är t.ex. "antal ägg" diskret: Det finns inga halva eller bråkdel ägg.


Exempel 1 Diskret funktion

En torghandlare säljer ägg för \( \, 3 \) kr per styck.

\( {\color{Red} 1} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 1} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\( {\color{Red} 2} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 2} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\( {\color{Red} 3} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 3} \cdot 3 \;{\rm kr,} \qquad \cdots \)

\( {\color{Red} n} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} n} \cdot 3 \;{\rm kr} \) eller \( 3\;{\color{Red} n} \;{\rm kr.} \)

Därför är prisfunktionen:

\( y = 3\;{\color{Red} n} \, , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} n}\,= {\rm {\color{Red} {heltal}}\,.} \)
         Diskret prisfunktion agg.jpg         Grafen till prisfunktionen visar priset \( y \, \) i kr (vertikal axel)

        som en funktion av antalet \( {\color{Red} n} \, \) (horisontell axel).


        Grafen till en diskret funktion ritas med separerade

        punkter och inte med en genomdragen linje.


        För att rita en diskret funktions graf måste man

        lyfta pennan.

\( \quad\; y \, \) är priset i kr. \( \quad\; \color{Red} n \, \) är antalet ägg.

\( y = 3\;{\color{Red} n} \) är en
diskret funktion
   därför att dess definitionsmängd är en
diskret mängd
   nämligen alla heltal \( {\color{Red} n} \geq 0\, \).


I matematiken betyder kontinuerlig sammanhängande och är motsatsen till diskret.

De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal - hur nära varandra de än mår vara - finns alltid oändligt många andra tal.

En mängd vätska t.ex. är kontinuerlig: Det finns halva eller alla möjliga bråkdelar av mängden.


Exempel 2 Kontinuerlig funktion

En annan torghandlare säljer färskpressad

granatäppeljuice för \( \, 30 \) kr per liter.

Av samma anledning som i Exempel 1 är

prisfunktionen här:

\( y = 30\;{\color{Red} x} \, , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} x}\,= {\rm {\color{Red} {reellt\;tal}}\,.} \)

\( \quad\; y \, \) är priset i kr. \( \quad\;\;\; \color{Red} x \, \) är mängden i liter.

\( y = 30\;{\color{Red} x} \) är en
kontinuerlig funktion
         Kontinuerlig prisfunktion ris.jpg         Grafen till Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) visar priset \( y \, \)

        som en funktion av mängden \( {\color{Red} x} \) (i liter).


        Grafen till en kontinuerlig funktion ritas med en

        genomdragen linje och inte med separerade punkter.


        En kontinuerlig funktions graf kan man rita

        utan att lyfta pennan.

därför att dess definitionsmängd är en
kontinuerlig mängd
    nämligen alla reella tal \( {\color{Red} x} \geq 0\, \).

Kontinuerliga funktioner används ofta som matematiska modeller för att beskriva verkligheten. Men i vissa fall föredrar man diskreta modeller som studeras i en speciell disciplin

som heter Diskret matematik. Talteori, mängdlära och kombinatorik är typiska ämnen i Diskret matematik som behandlas i Matte 5.


Exempel 3 Fibonaccis talföljd





Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=SKRjz2aTqCY

http://www.youtube.com/watch?v=cvnG0YWPLjQ

http://www.sigma8.se/dokument/TabyFriskola_Amnesrapport_OK_2012.pdf

http://www03.edu.fi/svenska/oppimateriaalit/arkimatematiikkaa/fibona.html

http://paranormal.se/topic/det_gyllene_snittet.html

http://www.math.fau.edu/MathCircle_at_FAU/MC130713Problems.pdf





Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner&oldid=29389"