Skillnad mellan versioner av "1.2 Lösning 11a"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (Created page with "<math> { 87+13 \over (x+9)/5 } = { 100 \over (x+9)/5 } </math> För att uttrycket till höger ska bli störst måste nämnaren <math> \displaystyle (x+9)/5 </math> bli minst, f...") |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (14 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | <math> | + | <math> Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) = x^2 - b\,x - a\,x + a\,b = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b </math> |
| − | + | <math> Q(x) = 1 \cdot x^2 - (a+b) \cdot x^1 + a\,b \cdot x^0 </math> | |
| − | + | <math> P(x) = 1 \cdot x^2 - 10 \cdot x^1 + 16 \cdot x^0 </math> | |
| − | + | Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1 </math> leder till: | |
| + | |||
| + | :::<math>\begin{align} - (a+b) & = - 10 \\ | ||
| + | a + b & = 10 \\ | ||
| + | b & = 10 - a \\ | ||
| + | \end{align} </math> | ||
| + | |||
| + | Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 </math> leder till: | ||
| + | |||
| + | :::<math> a \cdot b = 16 </math> | ||
| + | |||
| + | Sätter man in i denna relation <math> b = 10 - a </math> får man: | ||
| + | |||
| + | :::<math>\begin{align} a \cdot (10 - a) & = 16 \\ | ||
| + | 10\,a - a^2 & = 16 \\ | ||
| + | 0 & = a^2 - 10\,a + 16 \\ | ||
| + | a_{1,2} & = 5 \pm \sqrt{25 - 16} \\ | ||
| + | a_1 & = 8 \\ | ||
| + | a_2 & = 2 \\ | ||
| + | \end{align} </math> | ||
| + | |||
| + | Sätter man in dessa värden tillbaka i t.ex. a b = 16 får man: | ||
| + | |||
| + | :::::<math>\begin{align} 8 \cdot b_1 & = 16 \\ | ||
| + | b_1 & = 2 \\ | ||
| + | 2 \cdot b_2 & = 16 \\ | ||
| + | b_2 & = 8 \\ | ||
| + | \end{align} </math> | ||
| + | |||
| + | Polynomen <math> P(x)\, </math> och <math> Q(x)\, </math> är lika med varandra för <math> a = 8 </math> och <math> b = 2 </math> och för <math> a = 2 </math> och <math> b = 8 </math>. I båda fall kan vi konstatera följande intressant identitet som direkt leder oss till nästa avsnittet: Polynom i faktorform. Vi har fått fram en faktorisering av polynomet <math> P(x)\, </math>: | ||
| + | |||
| + | <math> P(x) = x^2 - 10 \, x + 16 = (x - 2) \cdot (x - 8) = Q(x)</math> | ||
Nuvarande version från 16 december 2010 kl. 22.05
\( Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) = x^2 - b\,x - a\,x + a\,b = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b \)
\( Q(x) = 1 \cdot x^2 - (a+b) \cdot x^1 + a\,b \cdot x^0 \)
\( P(x) = 1 \cdot x^2 - 10 \cdot x^1 + 16 \cdot x^0 \)
Jämförelse av koefficienterna till \( x^1 \) leder till:
- \[\begin{align} - (a+b) & = - 10 \\ a + b & = 10 \\ b & = 10 - a \\ \end{align} \]
Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \) leder till:
- \[ a \cdot b = 16 \]
Sätter man in i denna relation \( b = 10 - a \) får man:
- \[\begin{align} a \cdot (10 - a) & = 16 \\ 10\,a - a^2 & = 16 \\ 0 & = a^2 - 10\,a + 16 \\ a_{1,2} & = 5 \pm \sqrt{25 - 16} \\ a_1 & = 8 \\ a_2 & = 2 \\ \end{align} \]
Sätter man in dessa värden tillbaka i t.ex. a b = 16 får man:
- \[\begin{align} 8 \cdot b_1 & = 16 \\ b_1 & = 2 \\ 2 \cdot b_2 & = 16 \\ b_2 & = 8 \\ \end{align} \]
Polynomen \( P(x)\, \) och \( Q(x)\, \) är lika med varandra för \( a = 8 \) och \( b = 2 \) och för \( a = 2 \) och \( b = 8 \). I båda fall kan vi konstatera följande intressant identitet som direkt leder oss till nästa avsnittet: Polynom i faktorform. Vi har fått fram en faktorisering av polynomet \( P(x)\, \)\[ P(x) = x^2 - 10 \, x + 16 = (x - 2) \cdot (x - 8) = Q(x)\]
