Skillnad mellan versioner av "1.2 Lösning 11a"

Versionen från 17 september 2010 kl. 12.29 (visa wikitext) Taifun (Diskussion | bidrag) m (Created page with "<math> { 87+13 \over (x+9)/5 } = { 100 \over (x+9)/5 } </math> För att uttrycket till höger ska bli störst måste nämnaren <math> \displaystyle (x+9)/5 </math> bli minst, f...")		Nuvarande version från 16 december 2010 kl. 23.05 (visa wikitext) Taifun (Diskussion | bidrag) m
(14 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1:		Rad 1:
−	<math> { 87+13 \over (x+9)/5 } = { 100 \over (x+9)/5 } </math>	+	<math> Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) = x^2 - b\,x - a\,x + a\,b = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b </math>
−	För att uttrycket till höger ska bli störst måste nämnaren <math> \displaystyle (x+9)/5 </math> bli minst, för ju mindre ett tal som man delar med är, desto större blir resultatet.	+	<math> Q(x) = 1 \cdot x^2 - (a+b) \cdot x^1 + a\,b \cdot x^0 </math>
−	För att uttrycket <math> \displaystyle (x+9)/5 </math> ska bli minst måste <math> \displaystyle x </math> bli minst, för alla andra tal utom <math> \displaystyle x </math> är fasta dvs oföränderliga.	+	<math> P(x) = 1 \cdot x^2 - 10 \cdot x^1 + 16 \cdot x^0 </math>
−	Men eftersom uppgiften kräver ett positivt heltal för <math> \displaystyle x </math> måste <math> \displaystyle x </math> bli <math> 1 </math>, för <math> 1 </math> är det minsta positiva heltalet.	+	Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1 </math> leder till:
		+
		+	:::<math>\begin{align} - (a+b) & = - 10      \\
		+	a + b  & =  10      \\
		+	b  & =  10 - a  \\
		+	\end{align} </math>
		+
		+	Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 </math> leder till:
		+
		+	:::<math> a \cdot b = 16 </math>
		+
		+	Sätter man in i denna relation <math> b = 10 - a </math> får man:
		+
		+	:::<math>\begin{align} a \cdot (10 - a) & = 16                    \\
		+	10\,a - a^2 & = 16                    \\
		+	0 & = a^2 - 10\,a + 16      \\
		+	a_{1,2} & = 5 \pm \sqrt{25 - 16}  \\
		+	a_1 & = 8                    \\
		+	a_2 & = 2                    \\
		+	\end{align} </math>
		+
		+	Sätter man in dessa värden tillbaka i t.ex. a b = 16 får man:
		+
		+	:::::<math>\begin{align}      8 \cdot b_1 & = 16                  \\
		+	b_1 & = 2                  \\
		+	2 \cdot b_2 & = 16                  \\
		+	b_2 & = 8                  \\
		+	\end{align} </math>
		+
		+	Polynomen <math> P(x)\, </math> och <math> Q(x)\, </math> är lika med varandra för <math> a = 8 </math> och <math> b = 2 </math> och för <math> a = 2 </math> och <math> b = 8 </math>. I båda fall kan vi konstatera följande intressant identitet som direkt leder oss till nästa avsnittet: Polynom i faktorform. Vi har fått fram en faktorisering av polynomet <math> P(x)\, </math>:
		+
		+	<math> P(x) = x^2 - 10 \, x + 16 = (x - 2) \cdot (x - 8) = Q(x)</math>

---

Nuvarande version från 16 december 2010 kl. 23.05

$Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) = x^2 - b\,x - a\,x + a\,b = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b$

$Q(x) = 1 \cdot x^2 - (a+b) \cdot x^1 + a\,b \cdot x^0$

$P(x) = 1 \cdot x^2 - 10 \cdot x^1 + 16 \cdot x^0$

Jämförelse av koefficienterna till $x^1$ leder till:

$$\begin{align} - (a+b) & = - 10 \\ a + b & = 10 \\ b & = 10 - a \\ \end{align}$$

Jämförelse av koefficienterna till $x^0$ leder till:

$$a \cdot b = 16$$

Sätter man in i denna relation $b = 10 - a$ får man:

$$\begin{align} a \cdot (10 - a) & = 16 \\ 10\,a - a^2 & = 16 \\ 0 & = a^2 - 10\,a + 16 \\ a_{1,2} & = 5 \pm \sqrt{25 - 16} \\ a_1 & = 8 \\ a_2 & = 2 \\ \end{align}$$

Sätter man in dessa värden tillbaka i t.ex. a b = 16 får man:

$$\begin{align} 8 \cdot b_1 & = 16 \\ b_1 & = 2 \\ 2 \cdot b_2 & = 16 \\ b_2 & = 8 \\ \end{align}$$

Polynomen $P(x)\,$ och $Q(x)\,$ är lika med varandra för $a = 8$ och $b = 2$ och för $a = 2$ och $b = 8$. I båda fall kan vi konstatera följande intressant identitet som direkt leder oss till nästa avsnittet: Polynom i faktorform. Vi har fått fram en faktorisering av polynomet $P(x)\,$

$$P(x) = x^2 - 10 \, x + 16 = (x - 2) \cdot (x - 8) = Q(x)$$