Skillnad mellan versioner av "1.1 Polynom"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Ett polynoms grad)
m
 
(653 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.1 Polynom|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2| <<&nbsp;&nbsp;Repetitioner]]}}
 +
{{Selected tab|[[1.1 Polynom|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Polynom|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Polynom|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.1 Fördjupning till Polynom|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
<Big><strong><span style="color:blue">Kapitel 1 Algebra och funktioner</span></strong></Big>
+
<!-- [[Media: Lektion_3_Polynom_Ruta_a.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 3 Polynom</span></strong>]]
  
−
[[Media: Lektion 3 Polynom.pdf|Lektion 3 Polynom I]]
+
[[Media: Lektion 4 Polynom Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 4 Polynom: Fördjupning</span></strong>]] -->
  
−
[[Media: Lektion 4 Polynom.pdf|Lektion 4 Polynom II]]
+
== <b><span style="color:#931136">Exempel på polynom</span></b> ==
−
== Exempel på polynom ==
+
  
−
Uttrycken nedan kallas <span style="color:red">polynom</span>:  
+
<div class="border-divblue">
−
+
::<math> 4\,x + 12 </math>
−
: <math> 4\,x + 12 </math>
+
  
−
: <math> 3\,x^2 + 5\,x - 16 </math>
+
::<math> 3\,x^2 + 5\,x - 16 </math>
  
−
: <math> 8\,x^3 + 4\,x^2 - 7\,x + 6</math>
+
::<math> 8\,x^3 + 4\,x^2 - 7\,x + 6</math>
  
−
: <math> 3\,x^4 - 8\,x^3 + 12\,x^2 - 54\,x + 9 </math>  
+
::<math> 3\,x^4 - 8\,x^3 + 12\,x^2 - 54\,x + 9\quad</math>
 +
</div>
  
−
För läslighetens och strukturens skull brukar man inleda ett polynom med den högsta x-potensen och fortsätta i fallande ordning.
+
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 +
Uttrycken ovan kallas för <strong><span style="color:red">polynom</span></strong>, eftersom de består av många (<strong><span style="color:red">poly</span></strong> på latin) termer (<strong><span style="color:red">nom</span></strong> på latin). Varje polynom är en summa av ett antal termer.
  
−
<b>Uppgift:</b> Utveckla följande uttryck till ett polynom:
+
En term består av ett tal gånger en <math> \, x</math>-potens, t.ex. <math> 3\,x^4 </math>.
  
−
<math> 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) </math>
+
Man brukar inleda polynom med den term som har den högsta <math> \,x</math>-potensen. Sedan fortsätter man med termer i avtagande ordning på <math> x</math>-potenserna.
 +
</div> <!-- tolv1 -->
  
−
<b>Lösning:</b> Vi löser upp parenteserna, sammanfattar de termer som går att sammanfatta och ordnar x-potenserna i fallande ordning:
+
<div class="exempel">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel på icke-polynom</span> ===
 +
<big>
 +
Följande uttryck är inga polynom, eftersom de inte kan skrivas som summor av termer där varje term har formen "tal gånger en <math> \, x</math>-potens" som i exemplen ovan:  
  
−
<math> 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) = \,4\,x^3 -\,4\,x^3\,-\,12\,x^2 +\,21\,x\,+\,14\,x^2 = 2\,x^2 +\,21\,x </math>
+
::::<math> \displaystyle{1 \over x} \qquad\qquad\qquad \displaystyle{\sqrt x} \qquad\qquad\qquad \displaystyle{a^x} \; , \quad {\rm där} \quad a = {\rm const.} </math>
  
−
== Ett polynoms grad ==
+
I polynom måste <math> x</math>-potensernas exponenter vara positiva heltal eller <math> \, 0 </math>, dvs de får inte vara negativa eller bråk. Därför är <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> <math> = x^{-1}\, </math> och <big><math> \sqrt x = x^{1\over2} </math></big> inga polynom.
−
+
−
Den högst förekommande x-potensen i ett polynom dvs den största exponenten till x bland polynomets alla termer kallas polynomets <span style="color:red">grad</span>.  
+
  
−
Polynomet <math> x^4 - 29\;x^2 + 100 </math> har graden 4 eftersom den högst förekommande x-potensen har exponenten 4.
+
I polynom får inte heller variabeln <math> x </math> förekomma i exponenten. Därför är <math> \, a^x </math> inget polynom. Se även [[1.1_Polynom#Allm.C3.A4n_definition|<strong><span style="color:blue">Allmän definition</span></strong>]] längre fram och repetitionsfliken om [[Potenser|<strong><span style="color:blue">... Potenser</span></strong>]].
 +
</big></div>
  
−
I de inledande exemplen ovan har polynomen graderna 1, 2, 3 och 4 i den ordning som de är angivna.
 
  
−
== Ett polynoms koefficienter ==
+
<div class="tolv">
−
+
Att <strong><span style="color:red">utveckla</span></strong> ett algebraiskt uttryck till ett polynom betyder att förenkla uttrycket genom att:
−
Talen framför x-potenserna kallas polynomets <span style="color:red">koefficienter</span>. 
+
  
−
Följande uttryck är ett exempel på ett polynom, ordnat efter x-potenser:
+
# lösa upp alla parenteser,  
 +
# sammanfoga alla termer som går att sammanfoga och
 +
# skriva resultatet som en summa av termer, helst ordnad efter <math> x</math>-potenser i avtagande ordning.
 +
</div>
  
−
:::::::::::<math> x^5 + 3\,x^4 - 8\,x^3 + 12\,x^2 - 54\,x + 9 </math>
 
  
−
Här är koefficienten till den första termen <math>1</math>, nämligen talet framför <math> x^5\, </math>. Koefficienten till den andra termen är <math>3</math>, nämligen talet framför <math> x^4\, </math>. Koefficienten till den tredje termen är <math>-8</math> osv. Ett polynoms koefficienter definierar själva polynomet.
+
<div class="border-divblue">
 +
<strong><span style="color:red">Utveckla</span></strong> följande uttryck till ett polynom:
  
−
== Ett polynoms värde ==
+
:<math> 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) </math>
  
−
Till skillnad från graden - varje polynom har en och endast en fördefinierad grad - har ett polynom inte något givet värde för sig utan endast ett värde för något spcificerat x. Tar vi t.ex. ett av polynomen ovan, säg det 3:e gradspolynomet:
+
Vi löser upp parenteserna, sammanfogar de termer som går att sammanfoga och ordnar <math> x</math>-potenserna i fallande ordning:
  
−
<math> U_3(x) = 8\,x^3 - 4\,x </math>
+
:<math> 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) = \,6\,x^3 -\,12\,x^3\,-\,32\,x^2 +\,10\,x\,+\,18\,x^2 = \underline{-6\,x^3 - 14\,x^2 +\,10\,x} \, </math>
 +
</div>  <!-- border-divblue -->
  
−
kan vi beräkna dess värde för <math> x = 0,5 </math> så här:
 
  
−
<math> U_3(0,5) = 8 \cdot 0,5^3 - 4 \cdot 0,5 = 8 \cdot 0,125 - 2 = 1 - 2 = -1 </math>
+
== <b><span style="color:#931136">Grad</span></b> ==
 +
<div class="tolv">
 +
Den högsta förekommande exponenten till <math> x</math>-potenserna bland polynomets alla termer kallas polynomets <strong><span style="color:red">grad</span></strong>.
 +
</div>
  
−
Man säger att <math> -1 </math> är <span style="color:red">polynomets värde för x = 0,5</span> vilket bekräftas av grafen ovan där förloppet för polynomet <math> U_3(x) </math> visas, se grön kurva med <span style="color:green">n = 3</span>. Man ser att ett polynoms värde beräknas exakt på samma sätt som en funktions värde: Man sätter in ett värde för x i polynomets alla termer och beräknar enligt föreskrift polynomets värde. Det är inte konstigt, för ett polynom är också en funktion när det tilldelas ett y eller som ovan <math> U_3(x) </math>. Av funktionsbegreppet framgår också följande:
+
<div class="exempel12">
 +
Följande polynom har graden <math> \, 4\,</math>:
  
−
För varje x-värde får man endast ett värde för polynomet. Däremot kan det bli att man för två olika x-värden får samma polynomvärde. T.ex. får vi samma värde 0 för polynomet <math> U_2(x) = 4\,x^2 - 1 </math> både för <math> x = 0,5 </math> och <math> x = -0,5 </math>. Jämför med grafens blå kurva <math> U_2(x) </math> med <span style="color:blue">n = 2</span>.
+
:::<math> x^4 - 29\;x^2 + 100 </math>  
  
−
== Att räkna med polynom ==
+
eftersom den största exponenten till <math> \, x</math>-potenserna är <math> \, 4 </math>.
  
−
Summan (resultat av addition), differensen (resultat av subtraktion) och produkten (resultat av multiplikation) av två (eller flera) polynom är igen ett polynom, därför att summan, differensen och produkten av två (eller flera) termer är igen en eller flera termer. Man räknar med polynom precis på samma sätt som man gör det med uttryck därför att polynom är en speciell form av uttryck.
+
I de inledande exemplen [[1.1_Polynom#Exempel_p.C3.A5_polynom|<strong><span style="color:blue">Exempel på polynom</span></strong>]] har polynomen där graderna <math> \, 1, \, 2, \, 3, \, </math> och <math> \, 4 \, </math> i den ordning de är angivna där.
 +
</div>
  
−
==== Addition, subtraktion och multiplikation av polynom ====
 
  
−
Två polynom är givna: <math> P_1(x) = 6\,x^2 + 2\,x - 3 </math> och <math> P_2(x) = -6\,x^2 - 3\,x + 4 </math>. Bilda deras summa, differens och produkt.
+
== <b><span style="color:#931136">Koefficienter</span></b> ==
 +
<div class="tolv">
 +
Talen framför <math> x</math>-potenserna kallas för polynomets <strong><span style="color:red">koefficienter</span></strong>.  
 +
</div>
  
−
<big>Summa:</big>  
 
  
−
<math> P_1(x)\,+\,P_2(x) = (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,+\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,-\,6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4 = -\,x\,+\,1 </math>
+
<div class="exempel12">
  
−
<big>Differens:</big>
+
* 1:a gradspolynomet <math> \qquad 4\,x + 12 \qquad\qquad\quad </math> har koefficienterna <math> \quad 4 \,</math> och <math> \, 12 </math>.
  
−
<math> P_1(x)\,-\,P_2(x) = (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,-\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,+\,6\,x^2\,+\,3\,x\,-\,4 = 12\,x^2\,+\,5\,x\,-\,7 </math>
+
* 2:a gradspolynomet <math> \qquad 3\,x^2 + 5\,x - 16 \qquad </math> har koefficienterna <math> \quad 3 \, </math> och <math> \, 5 \, </math> och <math> \, -16</math>.
  
−
<big>Produkt:</big>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Konstanterna <math> 12\, </math> och <math> -16\, </math> i exemplen ovan är också koefficienter, fast de inte (synligt) står framför någon <math> x</math>-potens, därför att <math> 12\, </math> kan skrivas som:
  
−
<math> P_1(x)\,\cdot\,P_2(x) = (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,\cdot\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = -36\,x^4\,-\,18\,x^3\,+\,24\,x^2\,-\,12\,x^3\,-\,6\,x^2\,+\,8\,x\,+\,18\,x^2\,+\,9\,x\,-\,12 = </math>
+
::::<math> 12 \cdot x^0 </math>
  
−
<math> = -36\,x^4\,-\,30\,x^3\,+\,36\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 </math>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Detta pga <math> x^0 = 1\, </math>. Samma sak gäller för koefficienten <math> -16 \, = \, -16\,x^0 </math>, se repetitionsfliken om [[Potenser|<strong><span style="color:blue">... Potenser</span></strong>]].
  
−
Räkningarna ovan bygger på att först lösa upp parentserna och sedan sammanfoga de termer som går att sammanfoga, dvs de termer som har samma exponent. Att lösa upp parentserna innebär i additionsexemplet att ta bort parentserna utan åtgärd. Vid subtraktion däremot måste man vända om alla förtecken i den parentes som minustecknet står framför, allt enligt algebrans lagar för <math> + </math> och <math> - </math> . Vid multiplikation multipliceras varje term i den första parentesen in i den andra parentesen, dvs med alla termer i den, allt enligt algebrans distributivlag.
+
* 4:e gradspolynomet <math> \qquad x^4 - 29\,x^2 + 100 \qquad </math> har koefficienterna <math> \quad 1, \quad  0, \quad  -29, \quad  0, \quad  100</math>
  
−
Som man ser blir alla resultat polynom. Vid addition och subtraktion blir resultatens grad samma eller mindre än utgångspolynomen. I additionsexemplet blir graden mindre eftersom de kvadratiska termerna tar ut varandra. Multiplikationen däremot förstorar graden. I vårt exempel är faktorerna <math> P_1(x) </math> och <math> P_2(x) </math> 2:a gradspolynom medan deras produkt blir av graden 4. Generellt gäller det att produktpolynomets grad blir m + n om faktorernas grader är m och n. I ord: graden av en produkt av två polynom är lika med summan av faktorernas grad.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Anledningen till att två koefficienter är <math> \, 0 \,</math> är att <math>x^3</math>- och <math>x^1</math>-termerna saknas i polynomet. Det betyder att deras koefficienter är <math> \, 0 \, </math>. Man skulle kunna skriva polynomet även så här:
  
−
==== Division av polynom ger inget polynom ====
+
::::<math> x^4 + 0\cdot x^3 - 29\;x^2 + 0\cdot x^1 + 100\cdot x^0 </math>
  
−
Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom. Det enklaste exemplet är uttrycket:
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Att man inte gör det beror på att termerna med koefficienten <math> \, 0 \, </math> bidrar inget till polynomets värde. Man föredrar skrivsättet <math> \, x^4 - 29\,x^2 + 100 \, </math> för det är enklare att skriva så. 
 +
</div>
  
−
::::::::::::::::<math> 1 \over x </math>
 
  
−
Detta uttryck kan å ena sidan uppfattas som kvoten (resultatet av division) mellan polynomet 1 (av graden 0) och polynomet x (av graden 1). Å andra sidan är <math> 1/x </math> enligt [[1.5 Potenser|potenslagarna]] identiskt med:
+
<div class="tolv">
 +
För enkelhetens skull brukar man utelämna de termer som räknemässigt inte bidrar till polynomets värde. Men formellt är de där och bör tas hänsyn till när man räknar upp koefficienterna. På så sätt kan man alltid använda den fullständiga koefficientlistan som en definition på polynomet.  
 +
</div>
  
−
::::::::::::::::<math> x^{-1}\, </math>
 
  
−
Försöker man att identifiera detta som en term ser man att exponenten är negativ. Men ett polynoms termer måste ha exponenter till x som är positiva eller 0, se definitionen för term. Därför är uttrycket ovan inget polynom - ett exempel på att kvoten av två polynom i regel inte är polynom. Division av polynom leder oss till en ny klass av uttryck som <math> 1/x </math> eller <math> x^{-1} </math> är ett exempel på.
+
== <b><span style="color:#931136">Ett polynoms värde</span></b> ==
 +
<div class="tolv">
  
−
Denna nya klass av uttryck kallas [[1.4 Rationella uttryck|rationella uttryck]] och kommer att behandlas senare i avsnitt 1.4.
+
Eftersom ett polynom är en speciell form av ett uttryck är ett polynoms värde inget annat än uttryckets värde. Ett polynom har inget givet värde för sig utan får ett värde för något specificerat värde för <math>x\,</math>.  
 +
</div>
  
−
== Allmän definition ==
 
−
 
−
Ordet <span style="color:red">poly</span> betyder på latin många och <span style="color:red">nom</span> betyder term. Så polynom är närmare bestämt en <span style="color:red">summa av många termer</span>. Ett exempel på <span style="color:red">term</span> är följande:
 
  
−
:: <math> 8 \cdot x^3 </math>
+
<div class="exempel12">
 +
<b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b> &nbsp;&nbsp; Beräkna följande polynoms värde för <math> \, x = 0,5 </math>:
  
−
dvs en konstant gånger en x-potens. Generellt ser en term ut så här:
+
::::::::<math> 8\,x^3 - 4\,x </math>
  
−
:: <math> a \cdot x^n </math>
+
<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> &nbsp;&nbsp; Vi sätter in <math> 0,5\,</math> för <math>x\,</math> i polynomets alla termer och beräknar polynomets värde:
  
−
där <span style="color:red">n är ett positivt heltal eller 0</span>. Dvs n får varken vara negativt eller ett bråk (decimaltal). Talet a kallas <span style="color:red">koefficient</span> och är en godtycklig känd konstant. x däremot är en <span style="color:red">variabel</span> som kan anta vilka värden som helst.
+
::::::::<math> 8 \cdot 0,5^3 - 4 \cdot 0,5 = 8 \cdot 0,125 - 2 = 1 - 2 = -1 \,</math>
  
−
Som en summa av många sådana termer är ett polynom en speciell form av ett uttryck. Generellt har ett polynom av graden n följande form:
+
Det givna polynomets värde för <math> x = 0,5\, </math> är <math> -1\,</math>. För andra värden på <math>x\,</math> kommer polynomet att ha andra värden.
 +
</div>
  
−
:::::::::::<math> a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 </math>
 
  
−
där <span style="color:red">koefficienterna</span> <math> a_n\, </math> är godtyckliga kända konstanter, <span style="color:red">n ett positivt heltal eller 0</span> och x en <span style="color:red">variabel</span>. Den ledande termen är <math> a_n \cdot x^n </math> och den konstanta termen är <math> a_0\, </math>. Även om det ur ren beräkningssynpunkt är helt irrelevant i vilken ordning man skriver ett polynoms termer, brukar man, för att hålla sig till en bra struktur, börja med den ledande termen, skriva termerna i avtagande exponentordning och avsluta med den konstanta termen. Om <math> a_n = 1\,</math> är polynomet i normalform.
+
== <b><span style="color:#931136">Att räkna med polynom</span></b> ==
 +
<div class="tolv">
 +
Man räknar med polynom precis på samma sätt som man gör det med uttryck därför att polynom är en speciell form av uttryck. Man kan addera, subtrahera och multiplicera polynom med varandra. Resultatet blir ett nytt polynom. Följande gäller:
 +
</div>
  
−
== Polynomfunktioner ==
 
  
−
När ett polynom tilldelas en annan variabel, säg y, ger det upphov till en speciell typ av funktion, kallad <span style="color:red">polynomfunktion</span>. Närmare bestämt är polynomfunktioner en generalisering samt utvidgning av de funktionstyper vi sysslat hittills med. I Matte 1c-kursen hade vi bara linjära eller 1:a gradsfunktioner av typ:
+
<div class="border-divblue">
 +
<big>Summan, differensen och produkten av polynom är alltid ett polynom.</big>
 +
</div>
  
−
<math> y = 4\,x + 12 </math>
 
  
−
Till höger om likhetstecknet står ett polynom där <math> x </math> förekommer som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. Därför kallas <math> 4 x^1 </math> polynomets linjära term. Dess koefficient är 4. 12 kallas polynomets konstanta term. Grafen till denna 1:a gradsfunktion är en rät linje. I Matte B-kursen gick vi ett steg vidare och sysslade med 2:a gradsfunktioner av typ:
+
<div class="exempel">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel på räkning med polynom</span> ===
 +
<big>
 +
Två polynom är givna:
  
−
<math> y = 3\,x^2 + 5\,x - 16 </math>  
+
::<math> 6\,x^2 + 2\,x - 3 </math>
 +
::<math> -6\,x^2 - 3\,x + 4 </math>
  
−
Här är 2 den högsta exponenten till <math> x </math>. 3 är koefficienten till den kvadratiska termen <math> 3 x^2 </math>, 5 är koefficienten till den linjära termen <math> 5 x^1 </math> och -16 är koefficienten till den konstanta termen <math> -16 x^0 </math>. Grafen till denna 2:a gradsfunktion är en parabel. Redan dessa funktioner är polynomfunktioner utan att vi kallade dem så, därför att de är summor av termer som uppfyller de villkor som vi införde för n - nämligen att vara ett positivt heltal eller 0. Dvs vi har i Matte A och B sysslat med polynomfunktioner där n var 0, 1 eller 2, men inte högre. Om du undrar varför även konstanterna -16 och 12 i exemplen ovan kan anses som "termer" i den inledningsvis definierade bemärkelsen, kom ihåg att man kan skriva -16 som:
+
Bilda deras summa, differens och produkt.
  
−
::::::::::::::::<math> -16 \cdot x^0 </math>
+
<b>Summa = resultat av addition:</b>  
  
−
Att man kan göra så beror på att <math> x^0 = 1 </math> enligt [[1.5_Potenser#Potenslagarna|potenslagarna]]. Samma sak gäller för 12 som också är en term därför att 12 är lika med <math> 12 x^0 </math>. Därmed har vi identifierat både <math> 4 x + 12 </math> och <math> 3 x^2 + 5 x - 16 </math> som polynom.
+
<math> (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,+\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,-\,6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4 \, = \, \underline{-\,x\,+\,1} </math>
  
−
I Matte C-kursen ska vi nu lära oss att hantera även polynom av högre grad än 2. Vi tar exemplet från [[1.1 Övning 6|övning 6]] i förra avsnitt 1.1 Ekvationer och gör om ekvationen där till polynomfunktionen:
+
<b>Differens = resultat av subtraktion:</b>
  
−
<math> y = x^4 - 29\;x^2 + 100 </math> vars graf ser ut så här:
+
<math> (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,-\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,+\,6\,x^2\,+\,3\,x\,-\,4 \, = \, \underline{12\,x^2\,+\,5\,x\,-\,7}</math>
  
−
[[Image: 4-e_gradspolynom_70.jpg]]
+
<b>Produkt = resultat av multiplikation:</b>
  
−
Som man ser är grafen mer komplicerad än parabeln. Den har mer minima och maxima och mer nollställen som inte av en tillfällighet är identiska med lösningarna till 4:e gradsekvationen <math> x^4 - 29\;x^2 = -100 </math> i [[1.1 Svar 6|övning 6]] (förra avsnitt 1.1 Ekvationer). Vi gjorde ju om denna ekvation till funktionen ovan så att ekvationens lösningar blev funktionens nollställen. Det känns naturligt att kalla polynomet <math> x^4 - 29\;x^2 + 100 </math> för ett 4:e gradspolynom, vilket leder oss till det allmänna begreppet grad av ett polynom.
+
<math> (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,\cdot\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, -36\,x^4\,-\,18\,x^3\,+\,24\,x^2\,-\,12\,x^3\,-\,6\,x^2\,+\,8\,x\,+\,18\,x^2\,+\,9\,x\,-\,12 \, = \, </math>
  
−
== Ett polynoms nollställen ==
+
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\, = \, \underline{-36\,x^4\,-\,30\,x^3\,+\,36\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12} </math>
 +
</big></div>
  
−
När polynomets värde blir 0 kallar man de x för vilka polynomets värde blir 0, <span style="color:red">polynomets nollställen</span>. Till skillnad från polynomets värde där vi satt in ett tal för x och fick ett värde för polynomet, måste vi nu vända på steken och sätta polynomet till ett värde, närmare bestämt till värdet 0 och beräkna x. Det är en mycket svårare uppgift eftersom vi måste lösa en ekvation som i regel är av högre grad. Vi är ju ute efter de x för vilka ett polynom av en viss grad blir 0. Dessa x är polynomets nollställen. Därför kan ett polynom ha flera nollställen medan ett polynoms värde är alltid unikt.
 
  
−
===== Exempel: =====
+
<div class="tolv">
 +
Det man gör hela tiden i exemplet ovan är att först lösa upp parenteserna och sedan sammanfoga de termer som går att sammanfoga, det är de termer som har samma exponent.
  
−
Bestäm alla nollställen till polynomet <math> 5\,x^2 -\,20\,x </math>.
+
Som man ser blir alla resultat polynom. Vid addition och subtraktion blir resultatens grad samma eller mindre än utgångspolynomen. I additionsexemplet blir graden mindre eftersom de kvadratiska termerna tar ut varandra. Multiplikationen däremot förstorar graden. I exemplet är faktorerna 2:a gradspolynom medan deras produkt blir av graden 4. Generellt gäller det att produktpolynomets grad blir <math> \, m + n \, </math> om faktorernas grader är <math> \, m \, </math> och <math> \, n \, </math>, vilket är en konsekvens av första potenslagen.
  
−
Att beräkna polynomets nollställen innebär att sätta polynomet till 0 och lösa följande ekvation:
+
Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom.
 +
</div>
  
−
<math> 5\,x^2 -\,20\,x = 0 </math>
 
  
−
Eftersom vänsterledet saknar konstant term kan man bryta ut x som är den gemensamma faktorn i båda termer för att sedan kunna använda nollproduktmetoden:
+
<div class="border-divblue">
 +
<big>Kvoten av två polynom är i regel inget polynom.</big>
 +
</div>
  
−
<math>\begin{align} 5\,x^2 -\,20\,x & = 0        \\
 
−
                    x\,(5\,x -\,20) & = 0        \\
 
−
                                x_1 & = 0        \\
 
−
                      5\,x_2 -\,20 & = 0        \\
 
−
                                x_2 & = 4        \\
 
−
    \end{align}</math>
 
  
−
Polynomets nollställen är alltså <math> x_1 = 0\, </math> och <math> x_2 = 4\, </math>.
+
<div class="tolv">
 +
Det enklaste exemplet nämndes i [[1.1_Polynom#Exempel_p.C3.A5_icke-polynom|<strong><span style="color:blue">Exempel på icke-polynom</span></strong>]] dvs kvoten mellan polynomet <math> 1 \, </math> (av graden 0) och polynomet <math> x \, </math> (av graden 1):
  
−
== En familj av polynom ==
+
:::<math> {1 \over x} \qquad {\rm eller} \qquad x^{-1} </math>
  
−
Ett polynoms grad är ett mått på dess kompexitet. Ett exempel på hur kompexiteten växer med graden (från 0 till 5) är följande sex polynom vars grafer är ritade i samma koordinatsystem:
+
Uttrycken är enligt [[Potenser#Potenslagarna|<strong><span style="color:blue">potenslagarna</span></strong>]] identiska. Man ser att exponenten är negativ. Men i ett polynom får exponenterna till <math> x</math>-potenserna inte vara negativa. Därför är uttrycket ovan inget polynom <math>-</math> ett exempel på att kvoten av två polynom i regel inte är polynom.
  
−
[[Image: Chebyshev_Polyn_2nd Formler.jpg]]
+
Division av polynom leder oss till en ny klass av uttryck som <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> är ett exempel på. Denna nya klass av uttryck kallas <strong><span style="color:red">rationella uttryck</span></strong> och behandlas i [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">avsnitt 1.3</span></strong>]].
 +
</div>
  
−
[[Image: Chebyshev_Polyn_2nd_60.jpg]]
 
  
−
Man ser att kurvorna får fler maxima/minima ju högre deras grad är. Dessa polynom heter [http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheSecondKind.html Chebyshevpolynom av 2:a slag] efter den ryske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Pafnuty_Chebyshev Chebyshev] som presenterade dem 1854. Att vi kallar dem för en familj av polynom beror på att de är relaterade till varandra med följande formel:
+
== <b><span style="color:#931136">Allmän definition</span></b> ==
 +
<div class="tolv">
  
−
:::::::::::<math> U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... </math>
+
Inledningsvis kallades en konstant gånger en <math> x</math>-potens för en term:
  
−
:::::::::::<math> U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2\,x </math>
+
:::<math> 8 \cdot x^3 \qquad\qquad {\rm Generellt:} \qquad\qquad a \cdot x^n </math>
  
−
Om vi tittar på tabellen ovan ser man att polynomen <math> U_n(x) </math> bildar en följd där varje polynom har ett nummer n, kallat <span style="color:red">index</span> (subscript som är skrivet nedsänkt). Formeln ovan ger oss möjligheten att ta fram Chebyshevpolynomen successivt, dvs vi kan ställa upp ett polynom med hjälp av de två föregående. I princip kan man ställa upp alla Chebyshevpolynom med denna formel utgående från de två första som är givna. Låt oss börja med att ställa upp det tredje (OBS! n = 2) med hjälp av de två första (n = 0 och 1):
+
Som en summa av många sådana termer har ett polynom följande allmän definition:
 +
</div>
  
−
<math> \displaystyle U_0(x) = \underline{1} </math>
 
  
−
<math> U_1(x) = \underline{2\,x} </math>
+
<div class="border-divblue">
 +
<big>Ett &nbsp; <span style="color:red">polynom av grad <math>n\,</math></span> &nbsp; har formen:
  
−
För n = 2 ger formeln ovan:
+
:<math> a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \; , \quad
 +
{\rm där } \quad {\color{Red} {n\,= {\rm positivt\;heltal}}\;{\rm eller}\;{\color{Red} 0}\,.} </math>
  
−
<math> U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,U_1(x)\,-\,U_0(x) = 2\,x\,\cdot\,2\,x\,-\,1 = \underline{4\,x^2\,-\,1} </math>
+
Koefficienterna <math> \, a_n </math> är godtyckliga kända konstanter, medan <math>x\,</math> är en variabel.</big>
 +
</div>
  
−
Sedan kan vi få fram <math> U_3(x) </math> genom att att sätta in n = 3 i formeln ovan:
 
  
−
<math> U_3(x) = 2\,x\,\cdot\;U_2(x)\,-\,U_1(x) = 2\,x\,\cdot\,(4\,x^2\,-\,1)\,-\,2\,x = 8\,x^3\,-\,2\,x\,-\,2\,x = \underline{8\,x^3\,-\,4\,x} </math>
+
<div class="tolv">
 +
Istället för att använda beteckningarna <math> \, a, \, b, \, c, \, \dots </math> för koefficienterna inför man s.k. indicerade beteckningar <math> \, a_1, \, a_2, \, a_3, \, \dots </math>. Det nedsänkta <math>\,{\color {Red} {_n}}</math>-et i <math>a_n\,</math> är en del av beteckningen och kallas <strong><span style="color:red">index</span></strong> (subscript, nedsänkt skrivet). Dessa indicerade beteckningar används för att associera koefficienten till <math>\,x</math>-potensens exponent.
  
−
För n = 4 ger formeln ovan <math> U_4(x) </math> osv.:
+
<math> a_n\, </math> kallas för polynomets <strong><span style="color:red">ledande koefficient</span></strong>.
  
−
<math> U_4(x) = 2\,x\,\cdot\,U_3(x)\,-\,U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,(8\,x^3\,-\,4\,x)\,-\,(4\,x^2\,-\,1) = 16\,x^4\,-\,8\,x^2\,-\,4\,x^2\,+\,1 = \underline{16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1} </math>
+
<math> a_0\, </math> kallas polynomets <strong><span style="color:red">konstanta term</span></strong>.
  
−
Så här kan man fortsätta för att få fram alla Chebyshevpolynom. Eftersom formeln som används bygger på att beräkna ett polynom från de två föregående kallar man den för polymens <span style="color:red">rekursionsformel</span>, ett begrepp som används i samband med följder och summor (kap 5). Man kan säga att följden av Chebyshevpolynomen definieras av rekursionsformeln ovan.
+
Generellt kan ett polynom definieras via sina samtliga koefficienter.
 +
</div>
  
−
== Jämförelse av koefficienter ==
 
  
−
Med likhet mellan polynom menar man en algebraisk identitet mellan polynomen. Två polynom av samma grad:
+
<div class="exempel">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel</span> ===
 +
<big>
 +
:Polynomet <math> \quad x^5 + 3\,x^4 - 8\,x^3 - 54\,x + 9 \quad </math> av grad <math> \, 5 \, </math> har koefficienterna:
  
−
:::<math> P(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 </math>
+
::<math>a_5 = 1 \; , \qquad a_4 = 3 \; , \qquad a_3 = -8 \; , \qquad a_2 = 0 \; , \qquad a_1 = -54 \; , \qquad a_0 = 9</math>
 +
</big></div>
  
−
och
 
  
−
:::<math> Q(x) = b_n \cdot x^n + b_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + b_1 \cdot x + b_0 </math>
+
<div class="tolv">
 +
<b>Konvention:</b> Ur ren beräkningssynpunkt är det irrelevant i vilken ordning man skriver ett polynoms termer. Men, för att höja läsligheten och hålla sig till en bra struktur, brukar man börja med den term som har den högsta <math> x</math>-potensen, skriva termerna i avtagande ordning på <math> x</math>-potensernas exponenter och avsluta med den konstanta termen.
 +
</div>
  
−
är lika med varandra om alla deras motsvarande koefficienter, dvs de som tillhör termer av samma grad, överensstämmer, närmare bestämt om:
 
  
−
::::<math> a_n = b_n, \quad a_{n-1} = b_{n-1}, \quad \ldots \quad a_1 = b_1, \quad a_0 = b_0 </math>
+
== <b><span style="color:#931136">Ett polynoms nollställen (rötter)</span></b> ==
 +
<div class="tolv">
  
−
===== Exempel 1 =====
+
När polynomets värde blir <math> 0\,</math> kallar man de <math> x\,</math> för vilka polynomets värde blir <math> 0\,</math>, <strong><span style="color:red">polynomets nollställen</span></strong>. Nollställe är i polynomsammanhang synonym till <strong><span style="color:red">rot</span></strong>. Se även [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">rotens olika betydelser</span></strong>]].
  
−
Två polynom är givna:
+
Till skillnad från polynomets värde där vi satt in ett tal för <math> x\,</math> och fick ett värde för polynomet, måste vi nu vända på steken och sätta polynomet till värdet <math> 0\,</math> och beräkna <math> x\,</math>. Det är en mycket svårare uppgift eftersom vi måste lösa en ekvation som i regel är av högre grad. Vi är ju ute efter de <math> x\,</math> för vilka ett polynom av en viss grad blir <math> 0\,</math>. Dessa <math> x\,</math> är polynomets nollställen. Därför kan ett polynom ha flera nollställen medan ett polynoms värde är alltid unikt.
 +
</div>
  
−
<math> P(x) = a \cdot x + 2\,a + b </math>
 
  
−
<math> Q(x) = 2\,x + 1\!\, </math>.  
+
<div class="exempel">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel på nollställen</span> ===
 +
<big>
 +
Bestäm alla nollställen till polynomet <math> 5\,x^2 -\,20\,x </math>.
  
−
För vilka värden på <math> a\, </math> och <math> b\, </math> är de två polymen lika med varandra?
+
Att beräkna polynomets nollställen innebär att sätta polynomet till 0 och lösa följande ekvation:
  
−
Vi skriver <math> P(x),\, </math> och <math> Q(x)\, </math> så att vi lättare kan se motsvarande koefficienter:
+
::<math> 5\,x^2 -\,20\,x = 0 </math>
  
−
<math> P(x) = a \cdot x^1 + (2\,a + b) \cdot x^0 </math>
+
Eftersom vänsterledet saknar konstant term kan man bryta ut x som är den gemensamma faktorn i båda termer för att sedan kunna använda nollproduktmetoden:
  
−
<math> Q(x) = 2 \cdot x^1 + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x^0 </math>
+
::<math>\begin{align} 5\,x^2 -\,20\,x & = 0        \\
 +
                    x\,(5\,x -\,20) & = 0        \\
 +
                                x_1 & = 0       \\
 +
                      5\,x_2 -\,20 & = 0        \\
 +
                                x_2 & = 4        \\
 +
    \end{align}</math>
  
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1\, </math> leder till:
+
Polynomets nollställen eller rötter är alltså <math> x_1 = 0\, </math> och <math> x_2 = 4\, </math>.
 +
</big></div>
  
−
<math> a = 2\,</math>
 
  
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 \,</math> leder till:
+
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
  
−
<math> 2\,a + b = 1\!\,</math>
+
https://www.youtube.com/watch?v=-O2jvyajf8I&list=PL8F23578B46CAECC9
  
−
Sätter man in <math> a = 2\, </math> i denna relation får man <math> b = -3\, </math>.
+
https://www.youtube.com/watch?v=nKpfFc7Tns0
  
−
Polynomen <math> P(x)\, </math> och <math> Q(x)\, </math> är lika med varandra för:
+
http://www.youtube.com/watch?v=IDpnNnjFB1c
  
−
<math> a = 2\, </math>
+
http://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials.html
  
−
<math> b = -3\, </math>
+
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Polynomials.aspx
  
−
Metoden kallas <span style="color:red">jämförelse av koefficienter</span> och är ett viktigt verktyg för att lösa högre gradsekvationer genom att faktorisera högre gradspolynom, se [[1.2 Övningarna 10 och 11|övningarna 10 och 11]].
 
  
−
===== Exempel 2 =====
 
  
−
'''Problem:''' Följande 3:e gradspolynom är givet: <math> P(x) = x^3 + 4\,x^2 + x - 26 </math>
 
  
−
Hitta ett 2:a gradspolynom <math> Q(x)\, </math> så att:
 
  
−
::::::::<math> Q(x)\cdot (x-2) = P(x) </math>
 
  
−
'''Svar:''' <math> Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 </math>
 
−
 
−
'''Lösning:'''
 
−
 
−
Det 2:a gradspolynomet <math> Q(x)\, </math> kan skrivas så här: <math> Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c </math>
 
−
 
−
Vi bestämmer koefficienterna <math> a\, , \, b\, </math> och <math> c\, </math> så att <math> Q(x)\cdot (x-2) = P(x) </math>
 
−
 
−
<math>\begin{align} Q(x) \cdot (x - 2) & = (a\,x^2 + b\,x + c)\cdot (x - 2) = a\,x^3 - 2\,a\,x^2 + b\,x^2 - 2\,b\,x + c\,x - 2\,c = \\
 
−
                                      & = a\,x^3 + (b - 2\,a)\,x^2 + (c - 2\,b)\,x - 2\,c = \\
 
−
                                      & = a \cdot x^3 + (b - 2\,a) \cdot x^2 + (c - 2\,b) \cdot x - 2\,c \cdot x^0  \\
 
−
                                  P(x) & = 1 \cdot x^3  + \quad\;\; 4 \quad\;\; \cdot x^2  + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x - 26 \cdot x^0
 
−
\end{align} </math>
 
−
 
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^3 </math>-termen ger:
 
−
 
−
:::::<math>\begin{align}        a & = 1
 
−
        \end{align} </math>
 
−
 
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^2 </math>-termen ger:
 
−
 
−
:::<math>\begin{align} b - 2\,    a & = 4  \\
 
−
                      b - 2\cdot 1 & = 4  \\
 
−
                            b - 2  & = 4  \\
 
−
                                b  & = 6  \\
 
−
        \end{align} </math>
 
−
 
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1 </math>-termen ger:
 
−
 
−
:::<math>\begin{align} c - 2\,    b & = 1  \\
 
−
                      c - 2\cdot 6 & = 1  \\
 
−
                            c - 12  & = 1  \\
 
−
                                c  & = 13  \\
 
−
        \end{align} </math>
 
−
 
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 </math>-termen bekräftar värdet på c:
 
−
 
−
:::;:<math>\begin{align} - 2\,c    & = - 26  \\
 
−
                                c  & = 13    \\
 
−
        \end{align} </math>
 
−
 
−
Vi får <math> a = 1\, , \, b = 6\, </math> och <math> c = 13\, </math> och därmed:
 
−
 
−
<math> Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 </math>
 
−
 
−
== Internetlänkar ==
 
−
http://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials.html
 
−
 
−
http://www.youtube.com/watch?v=IDpnNnjFB1c
 
−
 
−
http://www.coolmath.com/algebra/algebra-practice-polynomials.html
 
−
 
−
http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut6_poly.htm
 
−
 
−
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Polynomials.aspx
 
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 13 maj 2019 kl. 17.12

        <<  Repetitioner          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa demoavsnitt  >>      


Exempel på polynom

\[ 4\,x + 12 \]
\[ 3\,x^2 + 5\,x - 16 \]
\[ 8\,x^3 + 4\,x^2 - 7\,x + 6\]
\[ 3\,x^4 - 8\,x^3 + 12\,x^2 - 54\,x + 9\quad\]

Uttrycken ovan kallas för polynom, eftersom de består av många (poly på latin) termer (nom på latin). Varje polynom är en summa av ett antal termer.

En term består av ett tal gånger en \( \, x\)-potens, t.ex. \( 3\,x^4 \).

Man brukar inleda polynom med den term som har den högsta \( \,x\)-potensen. Sedan fortsätter man med termer i avtagande ordning på \( x\)-potenserna.

Exempel på icke-polynom

Följande uttryck är inga polynom, eftersom de inte kan skrivas som summor av termer där varje term har formen "tal gånger en \( \, x\)-potens" som i exemplen ovan:

\[ \displaystyle{1 \over x} \qquad\qquad\qquad \displaystyle{\sqrt x} \qquad\qquad\qquad \displaystyle{a^x} \; , \quad {\rm där} \quad a = {\rm const.} \]

I polynom måste \( x\)-potensernas exponenter vara positiva heltal eller \( \, 0 \), dvs de får inte vara negativa eller bråk. Därför är \( 1 \over x \) \( = x^{-1}\, \) och \( \sqrt x = x^{1\over2} \) inga polynom.

I polynom får inte heller variabeln \( x \) förekomma i exponenten. Därför är \( \, a^x \) inget polynom. Se även Allmän definition längre fram och repetitionsfliken om ... Potenser.


Att utveckla ett algebraiskt uttryck till ett polynom betyder att förenkla uttrycket genom att:

  1. lösa upp alla parenteser,
  2. sammanfoga alla termer som går att sammanfoga och
  3. skriva resultatet som en summa av termer, helst ordnad efter \( x\)-potenser i avtagande ordning.


Utveckla följande uttryck till ett polynom:

\[ 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) \]

Vi löser upp parenteserna, sammanfogar de termer som går att sammanfoga och ordnar \( x\)-potenserna i fallande ordning:

\[ 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) = \,6\,x^3 -\,12\,x^3\,-\,32\,x^2 +\,10\,x\,+\,18\,x^2 = \underline{-6\,x^3 - 14\,x^2 +\,10\,x} \, \]


Grad

Den högsta förekommande exponenten till \( x\)-potenserna bland polynomets alla termer kallas polynomets grad.

Följande polynom har graden \( \, 4\,\):

\[ x^4 - 29\;x^2 + 100 \]

eftersom den största exponenten till \( \, x\)-potenserna är \( \, 4 \).

I de inledande exemplen Exempel på polynom har polynomen där graderna \( \, 1, \, 2, \, 3, \, \) och \( \, 4 \, \) i den ordning de är angivna där.


Koefficienter

Talen framför \( x\)-potenserna kallas för polynomets koefficienter.


  • 1:a gradspolynomet \( \qquad 4\,x + 12 \qquad\qquad\quad \) har koefficienterna \( \quad 4 \,\) och \( \, 12 \).
  • 2:a gradspolynomet \( \qquad 3\,x^2 + 5\,x - 16 \qquad \) har koefficienterna \( \quad 3 \, \) och \( \, 5 \, \) och \( \, -16\).

     Konstanterna \( 12\, \) och \( -16\, \) i exemplen ovan är också koefficienter, fast de inte (synligt) står framför någon \( x\)-potens, därför att \( 12\, \) kan skrivas som:

\[ 12 \cdot x^0 \]

     Detta pga \( x^0 = 1\, \). Samma sak gäller för koefficienten \( -16 \, = \, -16\,x^0 \), se repetitionsfliken om ... Potenser.

  • 4:e gradspolynomet \( \qquad x^4 - 29\,x^2 + 100 \qquad \) har koefficienterna \( \quad 1, \quad 0, \quad -29, \quad 0, \quad 100\)

     Anledningen till att två koefficienter är \( \, 0 \,\) är att \(x^3\)- och \(x^1\)-termerna saknas i polynomet. Det betyder att deras koefficienter är \( \, 0 \, \). Man skulle kunna skriva polynomet även så här:

\[ x^4 + 0\cdot x^3 - 29\;x^2 + 0\cdot x^1 + 100\cdot x^0 \]

     Att man inte gör det beror på att termerna med koefficienten \( \, 0 \, \) bidrar inget till polynomets värde. Man föredrar skrivsättet \( \, x^4 - 29\,x^2 + 100 \, \) för det är enklare att skriva så.


För enkelhetens skull brukar man utelämna de termer som räknemässigt inte bidrar till polynomets värde. Men formellt är de där och bör tas hänsyn till när man räknar upp koefficienterna. På så sätt kan man alltid använda den fullständiga koefficientlistan som en definition på polynomet.


Ett polynoms värde

Eftersom ett polynom är en speciell form av ett uttryck är ett polynoms värde inget annat än uttryckets värde. Ett polynom har inget givet värde för sig utan får ett värde för något specificerat värde för \(x\,\).


Exempel:    Beräkna följande polynoms värde för \( \, x = 0,5 \):

\[ 8\,x^3 - 4\,x \]

Lösning:    Vi sätter in \( 0,5\,\) för \(x\,\) i polynomets alla termer och beräknar polynomets värde:

\[ 8 \cdot 0,5^3 - 4 \cdot 0,5 = 8 \cdot 0,125 - 2 = 1 - 2 = -1 \,\]

Det givna polynomets värde för \( x = 0,5\, \) är \( -1\,\). För andra värden på \(x\,\) kommer polynomet att ha andra värden.


Att räkna med polynom

Man räknar med polynom precis på samma sätt som man gör det med uttryck därför att polynom är en speciell form av uttryck. Man kan addera, subtrahera och multiplicera polynom med varandra. Resultatet blir ett nytt polynom. Följande gäller:


Summan, differensen och produkten av polynom är alltid ett polynom.


Exempel på räkning med polynom

Två polynom är givna:

\[ 6\,x^2 + 2\,x - 3 \]
\[ -6\,x^2 - 3\,x + 4 \]

Bilda deras summa, differens och produkt.

Summa = resultat av addition:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,+\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,-\,6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4 \, = \, \underline{-\,x\,+\,1} \)

Differens = resultat av subtraktion:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,-\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,+\,6\,x^2\,+\,3\,x\,-\,4 \, = \, \underline{12\,x^2\,+\,5\,x\,-\,7}\)

Produkt = resultat av multiplikation:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,\cdot\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, -36\,x^4\,-\,18\,x^3\,+\,24\,x^2\,-\,12\,x^3\,-\,6\,x^2\,+\,8\,x\,+\,18\,x^2\,+\,9\,x\,-\,12 \, = \, \)

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\, = \, \underline{-36\,x^4\,-\,30\,x^3\,+\,36\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12} \)


Det man gör hela tiden i exemplet ovan är att först lösa upp parenteserna och sedan sammanfoga de termer som går att sammanfoga, det är de termer som har samma exponent.

Som man ser blir alla resultat polynom. Vid addition och subtraktion blir resultatens grad samma eller mindre än utgångspolynomen. I additionsexemplet blir graden mindre eftersom de kvadratiska termerna tar ut varandra. Multiplikationen däremot förstorar graden. I exemplet är faktorerna 2:a gradspolynom medan deras produkt blir av graden 4. Generellt gäller det att produktpolynomets grad blir \( \, m + n \, \) om faktorernas grader är \( \, m \, \) och \( \, n \, \), vilket är en konsekvens av första potenslagen.

Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom.


Kvoten av två polynom är i regel inget polynom.


Det enklaste exemplet nämndes i Exempel på icke-polynom dvs kvoten mellan polynomet \( 1 \, \) (av graden 0) och polynomet \( x \, \) (av graden 1):

\[ {1 \over x} \qquad {\rm eller} \qquad x^{-1} \]

Uttrycken är enligt potenslagarna identiska. Man ser att exponenten är negativ. Men i ett polynom får exponenterna till \( x\)-potenserna inte vara negativa. Därför är uttrycket ovan inget polynom \(-\) ett exempel på att kvoten av två polynom i regel inte är polynom.

Division av polynom leder oss till en ny klass av uttryck som \( 1 \over x \) är ett exempel på. Denna nya klass av uttryck kallas rationella uttryck och behandlas i avsnitt 1.3.


Allmän definition

Inledningsvis kallades en konstant gånger en \( x\)-potens för en term:

\[ 8 \cdot x^3 \qquad\qquad {\rm Generellt:} \qquad\qquad a \cdot x^n \]

Som en summa av många sådana termer har ett polynom följande allmän definition:


Ett   polynom av grad \(n\,\)   har formen:

\[ a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \; , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} {n\,= {\rm positivt\;heltal}}\;{\rm eller}\;{\color{Red} 0}\,.} \]

Koefficienterna \( \, a_n \) är godtyckliga kända konstanter, medan \(x\,\) är en variabel.


Istället för att använda beteckningarna \( \, a, \, b, \, c, \, \dots \) för koefficienterna inför man s.k. indicerade beteckningar \( \, a_1, \, a_2, \, a_3, \, \dots \). Det nedsänkta \(\,{\color {Red} {_n}}\)-et i \(a_n\,\) är en del av beteckningen och kallas index (subscript, nedsänkt skrivet). Dessa indicerade beteckningar används för att associera koefficienten till \(\,x\)-potensens exponent.

\( a_n\, \) kallas för polynomets ledande koefficient.

\( a_0\, \) kallas polynomets konstanta term.

Generellt kan ett polynom definieras via sina samtliga koefficienter.


Exempel

Polynomet \( \quad x^5 + 3\,x^4 - 8\,x^3 - 54\,x + 9 \quad \) av grad \( \, 5 \, \) har koefficienterna:
\[a_5 = 1 \; , \qquad a_4 = 3 \; , \qquad a_3 = -8 \; , \qquad a_2 = 0 \; , \qquad a_1 = -54 \; , \qquad a_0 = 9\]


Konvention: Ur ren beräkningssynpunkt är det irrelevant i vilken ordning man skriver ett polynoms termer. Men, för att höja läsligheten och hålla sig till en bra struktur, brukar man börja med den term som har den högsta \( x\)-potensen, skriva termerna i avtagande ordning på \( x\)-potensernas exponenter och avsluta med den konstanta termen.


Ett polynoms nollställen (rötter)

När polynomets värde blir \( 0\,\) kallar man de \( x\,\) för vilka polynomets värde blir \( 0\,\), polynomets nollställen. Nollställe är i polynomsammanhang synonym till rot. Se även rotens olika betydelser.

Till skillnad från polynomets värde där vi satt in ett tal för \( x\,\) och fick ett värde för polynomet, måste vi nu vända på steken och sätta polynomet till värdet \( 0\,\) och beräkna \( x\,\). Det är en mycket svårare uppgift eftersom vi måste lösa en ekvation som i regel är av högre grad. Vi är ju ute efter de \( x\,\) för vilka ett polynom av en viss grad blir \( 0\,\). Dessa \( x\,\) är polynomets nollställen. Därför kan ett polynom ha flera nollställen medan ett polynoms värde är alltid unikt.


Exempel på nollställen

Bestäm alla nollställen till polynomet \( 5\,x^2 -\,20\,x \).

Att beräkna polynomets nollställen innebär att sätta polynomet till 0 och lösa följande ekvation:

\[ 5\,x^2 -\,20\,x = 0 \]

Eftersom vänsterledet saknar konstant term kan man bryta ut x som är den gemensamma faktorn i båda termer för att sedan kunna använda nollproduktmetoden:

\[\begin{align} 5\,x^2 -\,20\,x & = 0 \\ x\,(5\,x -\,20) & = 0 \\ x_1 & = 0 \\ 5\,x_2 -\,20 & = 0 \\ x_2 & = 4 \\ \end{align}\]

Polynomets nollställen eller rötter är alltså \( x_1 = 0\, \) och \( x_2 = 4\, \).


Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=-O2jvyajf8I&list=PL8F23578B46CAECC9

https://www.youtube.com/watch?v=nKpfFc7Tns0

http://www.youtube.com/watch?v=IDpnNnjFB1c

http://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials.html

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Polynomials.aspx





Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.1_Polynom&oldid=28456"